어느 수험생과 함수
2009년 5월 초 어느 날. 재수를 하는 여학생과 전화로 상담을 했던 적이 있다. 그런데 며칠 지나지 않아 그 여학생의 어머니로부터 전화가 왔고 그 여학생의 공부를 잠깐 도와 줄 기회가 생겼다. 문과인 그 여학생은 수리를 제외한 모든 과목이 1등급이었고, 예상하겠지만 너무나도 부지런하고 공부에 열심인 학생이었다. 그런데 이 학생의 비극은 “수리, 태어나서 80점대를 받아본 적 없어요.”였다. 고백(?)이라고 하기에 조금 이상하지만, 아직도 그 말이 생생하게 기억난다. 그 말이 처음엔 이해가 가지 않았다. 왜냐면 그 여학생은 최근 몇 년간의 수능 수리영역 기출문제를 거의 외우다시피 하고 있었다.
70점대 성적, 한 달 만에 92점이 되다 !!
공부한 흔적을 보면서 여러 가지 질문을 했는데, 그 여학생의 원인은 《함수》 단원을 제대로 정리하지 못했기 때문이었다.(어느 정도 예상은 하고 있었다. 70점대 성적을 극복 못하는 친구들의 전형적인 원인 중에 하나이기 때문이다.) 그 여학생의 비극은 간단히 종결될 일이었다.
《함수》 단원 정리 방법을 가르쳐주고, 그것을 본인이 실행할 수 있게 과제를 내주었다. 너무나도 성실했던 친구라서 별 걱정이 없었다. 생각보다 과제를 빨리해서 다소 놀랐는데, 그래서 더더욱 기대가 됐다. 한 달 뒤 〈한국교육과정평가원〉이 주관하는‘6월 모의고사’를 치르게 됐는데, 깜짝 놀랄 일이 생겼다. 이 여학생은 80점대를 훌쩍 뛰어넘어 92점이라는 성적을 받아왔다. 본인도 믿기지 않는다는 눈치였다. 그 당시 시험이 다소 어려웠다는 점을 감안할 때, 놀라운 성적향상이었다.(그 당시 강남의 유명한 재수종합반 성적이 80점대 후반이었던 것으로 어렴풋이 기억한다.)
함수, 너는 악마다
수학(하)를 배울 때, “그래 넌 수학이 안 되는 아이야.”라고 확실하게 종결지어 주는 단원이 바로 《함수》 단원이다. 우선 그 ‘분량’에 압도되고, 그 ‘내용’마저도 호락호락하지 않다. 그런데 그 함수가 나중에는 더 큰 함정을 파놓고 기다리고 있을 줄은 그 당시 잘 알지를 못한다.
이과를 선택한 친구들은 함수의 중요성을 미리부터 워낙 듣고 있어서 어림짐작으로라도 알고 있기는 하지만, 문과 친구들에게는 별 느낌이 없다. 그래서 함수는 ‘더 무서운 악마’다.( ‘함수’가 이 표현을 느낄 수 있다면 조금 미안하기는 하지만, 실제로 그렇다.)
함수는 이렇게 정리하자 !!
(1) 목차를 세워서 내용을 구조화한다.
교과서의 함수 내용은 조금 뒤죽박죽이다. 물론 나름대로 체계를 갖고 서술되었겠지만, 당장 학생들에게 함수 내용을 물어보면 두서가 없고 엉망이다. 그 원인은 교과서에도 있고, 학생에게도 있다. 이를 해결하는 방법은 여러 종류인 함수의 목차를 통일하는 것이다.
1. 함수의 정의
2. 정의역, 공역, 치역 그리고 범위
(1) 정의역·공역·치역(정의역·치역의 범위가 제한되는 경우)
(2) 범위(범위 확정의 중요성)
3. 그래프
(1) 그래프 그리기(특수한 형태의 그래프)
① 절댓값을 포함한 함수 ② 분수함수
③ 역함수 ④ 가우스함수 ⑤ 합성함수
(2) 그래프를 활용한 문제풀이
(3) 그래프의 특징을 표현한 중요한 식(위로 볼록·아래로 볼록)
4. 이동
(1) 평행이동
(2) 대칭이동
5. 최댓값과 최솟값
(1) 개념
(2) 최댓값과 최솟값을 구하는 방법
① 변수가 하나인 경우(함수의 최대·최소)
② 변수가 여러 개인 경우(절대부등식을 이용한 최대·최소)
* 산술·기하평균에 대한 정리
③ 부등식 영역에서의 최대·최소
④ 미분을 이용한 최대·최소
2. 정의역, 공역, 치역 그리고 범위
(1) 정의역·공역·치역(정의역·치역의 범위가 제한되는 경우)
(2) 범위(범위 확정의 중요성)
3. 그래프
(1) 그래프 그리기(특수한 형태의 그래프)
① 절댓값을 포함한 함수 ② 분수함수
③ 역함수 ④ 가우스함수 ⑤ 합성함수
(2) 그래프를 활용한 문제풀이
(3) 그래프의 특징을 표현한 중요한 식(위로 볼록·아래로 볼록)
4. 이동
(1) 평행이동
(2) 대칭이동
5. 최댓값과 최솟값
(1) 개념
(2) 최댓값과 최솟값을 구하는 방법
① 변수가 하나인 경우(함수의 최대·최소)
② 변수가 여러 개인 경우(절대부등식을 이용한 최대·최소)
* 산술·기하평균에 대한 정리
③ 부등식 영역에서의 최대·최소
④ 미분을 이용한 최대·최소
이차함수·무리함수·분수함수·가우스함수 등 많은 함수를 배웠는데, 그 함수 내용을 위의 목차에 맞게 정리하면 된다. 그렇게 정리하면 그 함수에서 어느 부분이 특히(가령 가우스함수의 경우 그래프) 중요한지 알 수 있게 된다. 여러분이 배운 지수함수를 한 번 정리해보자. 6가지 전부에 대해서 관련 내용들이 있을 것이다. 그만큼 지수함수(물론 로그함수도)는 출제하기 좋은 요소들을 갖고 있다.
(2) 기출문제도 목차에 맞게 구조화한다.
수능과 평가원 기출문제도 위와 같이 정리하면 문제의 출제 포인트를 명확하게 알 수 있게 된다. 특히 기출문제를 위와 같이 정리하면, 어느 부분의 내용을 더 학습해야 하는지 가늠할 수 있게 된다. 다음은 어느 학생이 함수 관련 기출문제를 정리한 소감이다.
일단 함수 하면, 기본적으로 그래프가 떠올라서, 중복되는 것도 있었구요. 범위 문제 같은 경우, 대부분은 부등식이나 정의역이 주어지고 정수의 개수 구하라는 식의 문제가 많긴 했는데요, 범위 자체가 조건으로 주어지기 때문에 숨어있는 범위까지 같이 생각해서 넣어주어야 하는지, 조건 자체에 범위가 주어지고, 그 범위가 중요한 역할을 한다면 행렬 꼴 이여도 그걸 범위 문제로 넣어주어야 하는지..
그래프 문제에서는, 좌표평면 상에 표시하는 식으로 푸는 문제들을 넣어주어야 하는지 넣지 말아야 하는지.. 또, 함수 문제들 중 진위 판별형에서, 그래프를 그려서 진위 판별하는 경우, 이걸 그래프 문제로 넣어도 되는건지.. 이동 문제 같은 경우엔, 문제에 따로 평행이동이라는 말이 나와 있지 않아도 식에 x-m 같은 부분이 있으면 평행이동에 넣어줘야 되는지, 여러 가지 수열의 극한 문제에서 점의 이동 같은 것도 포함을 해주어야하는지...
중단원 소단원 세부단원별 영역규명은 되는데요, 위와 같은 식으로 정확히 나누려니까 힘드네요;; 문제들이 딱 나는 어느 부분이야. 이게 아니라, 여러 부분들이 같이 연결되어 있는 느낌이에요. 문제에서 함수를 보면 그래프를 생각하지 않을 수가 없구요. 함수에는 정의역 치역이 존재하니까, 함수 자체에 범위가 포함되어 있구요. 그렇다면 문제를 풀 때 조건인 범위를 생각하지 않을 수가 없구요.
그래프 문제에서는, 좌표평면 상에 표시하는 식으로 푸는 문제들을 넣어주어야 하는지 넣지 말아야 하는지.. 또, 함수 문제들 중 진위 판별형에서, 그래프를 그려서 진위 판별하는 경우, 이걸 그래프 문제로 넣어도 되는건지.. 이동 문제 같은 경우엔, 문제에 따로 평행이동이라는 말이 나와 있지 않아도 식에 x-m 같은 부분이 있으면 평행이동에 넣어줘야 되는지, 여러 가지 수열의 극한 문제에서 점의 이동 같은 것도 포함을 해주어야하는지...
중단원 소단원 세부단원별 영역규명은 되는데요, 위와 같은 식으로 정확히 나누려니까 힘드네요;; 문제들이 딱 나는 어느 부분이야. 이게 아니라, 여러 부분들이 같이 연결되어 있는 느낌이에요. 문제에서 함수를 보면 그래프를 생각하지 않을 수가 없구요. 함수에는 정의역 치역이 존재하니까, 함수 자체에 범위가 포함되어 있구요. 그렇다면 문제를 풀 때 조건인 범위를 생각하지 않을 수가 없구요.
이 학생의 경우 기출문제를 정리하면서 많은 것을 깨달았다는 것을 알 수 있다. 함수 단원이 가지고 있는 여러 특징을 문제를 푸는 것이 아니라 분석·정리하면서 느끼게 된 것이다. 이 학생이 전했던 말 중에 인상적이었던 것 두 가지가 있다.
첫째는 함수 관련 문제가 상상을 초월할 정도로 많았다. 둘째는 범위 관련 문제가 생각보다 많았고, 함수는 그래프가 중요하다는 사실을 알았지만, 절대 다수의 문제가 그래프 문제였다. 이렇듯 스스로 느낄 수 있을 때, 극복할 수 있는 힘이 생기는 법이다.
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