대학저널

수학의 달인, 원시인에게서 찾는 공부비법③







공룡을 요리하다 이론을 요리하다
자바라(원시인)가 힘겹게 사냥해 온 공룡, 이제는 어떻게 먹을지가 고민이다. 자바라의 머릿속은 다음 생각들로 가득하다.‘ 큰 공룡을 날름 한 입에 쏙 넣을 수는 없으니 부위별로 나눠야하 는데...날로 먹을지, 구워 먹을지, 찌개를 해 먹을지....’ 목숨 걸 고 잡아 온 공룡 뒤처리에 자바라의 한숨이 늘어간다.‘ 각 부위마 다 어떻게 요리를 하느냐에 따라 맛이 달라질 텐데...’자바라는 과연 이 고민을 어떻게 해결할까?

개념을 잘 알아야 수학을 잘할 수 있다!
‘공식을 잘 암기해야 수학 실 력이 늘어!’(인수분해도 가물가물 하신 아버지조차 자신 있게 하시는 말씀!) 용어의 차이지만, 결국 이론 을 잘 알아야 수학을 잘 할 수 있다 는 의미로 이해할 수 있다. 자바라에게 공룡 뒤처리가 고민이듯 여러분들은 힘겹게 암기한 이론을 어떻게 이용(처리)할 것인지가 큰 고민일 것이다. 이론이 그냥 먹는 음식이면 얼마나 좋을까!?

이론 리셋(reset)
이론을 잘 요리하려면 우선 여러분들이 알고 있는 수학에서의 ‘이론’이라는 것에 대한 개념을 엄밀하게 다시 생각해 볼 필요가 있다. 지금까지 알고 있는 이론에 대한 생각을 리셋할 기회를 지 금 가져보도록 하자! 보통 공식이라고 말해버리지만, 엄밀하게 이 론이라고 해야 한다.

그 이론의 등장인물들은 공식·법칙·성 질·정리. 용어가 다르다는 것은 그 특징이나 성질이 다르다는 것 을 의미한다. 각각의 뜻이 얼추 비슷할 것 같지만, 교과서를 보면 분명 달리 쓰고 있음을 알 수 있다.(지수공식이 아니라 지수법칙, 로그공식이 아니라 로그성질, 로그함수의 성질 등)‘ 굳이 구별할 필요가 있을까?’라고 의문을 던지는 친구들이 있을 텐데, 물론! 당연히! 구별할 필요가 있다.

①‘정의’공식이 태어나고, 성립하는 밑바탕이다.
가령, log_a b(단, a > 0, a ≠ 1, b > 0)와 같이 로그가 정의되지 않 a 으면,‘ 로그의 성질’과‘밑 변환 공식’등은 성립할 수가 없게 된 다. 그렇기 때문에‘정의’는 매우 중요한 역할을 하는 것이다. 만 약 대수롭지 않게 생각했다면, 정의들을 다시금 꼼꼼히 챙겨볼 필 요가 있다.

②‘공식·법칙’식을 만들고 변형하는 아이템이다.
대개 등식이나 부등식의 형태로 주어지는데,(가령, a^x × a^y = a^x+y ) 특히 등식의 형태로 주어지면 등호가 방향성의 개념 (a^x × a^{y _⇆} a^x+y 왼쪽에서 오른쪽 생각은 잘하는데, 그 반대는 많이 낯설어하는 것이 현실이 다.)

③‘성질’, 문제풀이 조건을 만들고 해결하는 열쇠다.
보통식(등식 또는 부등식)이나 문장 형태로 주어지게 된다. 성질 을 떠올리지 못하면 문제풀이가 중간에서 멈춰버리는 낭패가 발 생하게 된다.

④‘정리’진위 판별형(합답형) 문제를 해결하는 보물창고다.
일반적으로 명제형태(p이면 q이다)로 주어지는데, 당연히 역· 이·대우명제를 떠올려야 한다. (무한급수와 일반항에 관한 정리 무한급수 이 수렴하면 이다)

이렇듯 그냥 대충 공식으로 얼버무렸던 것들이 제각기 특징이나 성격을 가지고 있음을 기억할 필요가 있다. 자바라(원시인)가 공룡을 부위별로 나누었듯 여러분들도 이론을 부위별로 나누고 그 특징이나 성격을 충분히 이해해야 함을 잊지 말아야 한다.

이론 심기


그 이유는 문제에 이론을 심지 않았기 때문이다. 이론은 문제에 뿌리를 내려야 그 생명력을 가지게 된다. 물론 처음에는 문제 풀 이 방법을 베끼게 되는데, 선생님의 문제풀이, 책에서 본 문제풀 이 등을 통해‘아, 이 문제는 이렇게 푸는구나’라고 생각하게 된 다. 그런데 여기서 끝난다면 풀이 방법을 단순히 외우는 것일 뿐 이론이 제대로 심어진 것이 아니라고 할 수 있다. 풀이 과정 한 줄, 한 줄의 의미를 배웠던 이론으로 해석하는 과정이 있어야 이론이 제대로 문제에 심어지는 것이다. 아래의 예를 살펴보도록 하자!


























정리
①은 문제의 조건으로 식을 만드는데 필요하고, ②는 조건 ①을 구체화하고 있으나, 문제풀이에 직접 이용되기보다 조건 ①의 이해를 돕고 있다. ③은 ①을 통해 만들어진 a_n을 통해 최종적으로 답을 구하는데 필요하다. 위의 예는 이론이 문제풀이에 심어지는 과정을 보여주고 있다.

이론 심기 과정이 그렇게 쉬운 것은 아니지만, 이것이 이론과 문제 풀이가 따로 놀게 되는 실수를 줄이는 방법이다. 왜 이렇게 풀었 는지에 대해 대답할 수 없다면 여러분들은 풀이방법을 외운 것이 다. 자바라가 공룡을 어떻게 요리할지 고민했던 것을 여러분은 수 학문제를 요리할 때 고민하기를 바란다.

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