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수학 문제 풀이 방법을 암기해야 할까? 수학도 암기니까 당연하다는 사람도 있고 암기보다 이해를 해야 한다는 사람도 있다. 두 사람이 태도는 맞기도 하고 틀리기도 하다. 암기와 이해가 전부 필요하지 어느 하나의 문제는 아니다. 두 사람의 태도는, 암기를 잘 안하는 학생들과 이해를 하려고 들지 않는 학생에게 주의를 주기 위한 발언이라고 이해를 하면 어떤 의미인지 알 수 있다. 가끔 보면 암기 일변도의 수학 문제 풀이 태도를 가진 학생과 이해 위주의 수학 문제 풀이 태도를 가진 학생들을 보게 된다. 이런 학생들은 중학교 수학까지는 시험 결과가 좋을 수 있지만 고등학교 수학에서는 예상치 못한 시험 결과를 맞이하게 된다.

수학, 암기와 그 한계
요리를 하기 위해서 음식 재료가 필요하듯이 수학에서 사고를 하기 위해서는 개념을 암기할 필요가 있다. 그런데 중학교 때부터 수학 문제 풀이 방법을 암기해서 문제를 푸는 태도가 몸에 베인 학생들이 종종 있다. 당연히 풀이 방법을 잘 암기해서 문제를 잘 풀어서 결과가 좋으면 수학을 잘 하는 학생으로 평가를 받는다. 그런데 이런 경우는 중학교 때까지만 해당된다. 고등학교에서는 더 이상 통하지 않는다. 고등학교 1학년 1학기 중간고사 결과를 보면 금방 알아차리게 된다.
그런데 문제는 이런 유형의 학생인지를 어떻게 찾아내느냐 하는 것이다. 그런데 그 방법은 생각보다 간단하다. 다음 예시를 살펴보자.

학생의 풀이를 보면 군더더기 없이 간략하고 4점 배점인데도 신속하게 풀었다. 보통의 경우에는 이런 풀이 상황을 보고 문제를 삼지 않는다. 문제를 삼는 것이 오히려 이상하다. 필자가 해당 학생에게 질문을 했다.

필자 : 이 문제 풀이에 이용된 개념이 뭐니?
학생 : 역함수랑 일대일대응요.
필자 : 일대일 대응의 정의가 뭐야?
학생 : x값 하나에 y값 하나씩 대응하는 거에요.
필자 : 그건 함수의 정의지 일대일대응의 정의가 아닌데.

대화에서 살펴보면 알겠지만 이 학생은 제대로 된 개념으로 해당 문항을 풀이한 것이 아니다. 풀이가 잘못 된 것은 아니지만 개념을 알고 문제를 풀기보다는 벤다이어그램을 그려서 풀이했던 기억을 바탕으로 문제를 푼 것이다. 그러면 이 상황에서 벤다이어그램을 활용하여 문제를 풀이한 것이 잘못됐냐?는 질문을 할 수 있다. 잘못이 없고 다른 풀이법으로 간주할 수 있다. 그런데 본질적인 문제는 벤다이어그램을 활용해서 문제를 풀더라도 관련된 수학 개념(역함수, 일대일대응)은 명확하게 알아야 한다는 사실이다. 가령, 같은 개념(역함수, 일대일대응)을 묻지만 벤다이어그램을 활용할 수 없는 다른 유형의 문제는 어떻게 해결할 수 있을까?에 대해 개념이 불완전한 해당 학생은 방안이 없다. 개념에 대한 이해와 암기 없이 문제풀이 방법을 암기하여 문제풀이를 하는 것은 매우 위험한 수학학습태도다. 문제를 맞혔지만 그 안에 가려진 진짜 실력에 대해서 주의가 필요하다.

사고력과 수학 문제 풀이
고등학교 진학 후 수학을 어려워하거나 다른 과목의 고난도 문항을 힘들어하는 경우가 종종 있다. 그런데 중학교 때 전교권 성적이었는데 고등학교 와서 예상치 못한 성적을 받은 경우는 학생 본인이나 부모님들에게는 충격이다. 이런 경우에 학습역량을 평가해보면 대부분 탐구력 부분의 수치가 저조하게 나온다. 탐구력은 사고력과 맥락을 같이하는데 이 부분이 문제가 되다보니 고등학교 수학이 어려워지고 고난도 문항에서 헤매게 된다.
사고력은 본질적으로 고민의 산물이다. 어렵거나 잘 안 풀리는 수학 문제를 여러 측면에서 끙끙대고 고민하는 과정에서 차츰 키워진다. 그런데 성격 상 이런 태도가 안 되는 학생의 경우 당연히 사고력이 키워지기 어렵다. 또한 문제의 정답을 ‘맞혔나 못 맞혔나’라는 결과에만 치중하는 유형의 경우에도 사고력을 높이기 힘들다.
사고력을 높이기 위해서는 본인의 노력이 1차적으로 필요하고 주변의 이해와 도움도 필요한 것이 사실이다. 그런데 대부분의 경우 쉽지 않은 듯하다. 진도 나가기 급급하고 잘 나오지 않는 수학 성적이라는 눈 앞에 당장 놓인 현실 속에서 해결을 잘 못하는 경우가 대다수다. 늘 듣고 되뇌이는 말이지만 ‘수학 참 쉽지 않다.’

사고력 높이는 방법
수학에서 사고력을 높이는 방법은 어렵게 생각할 필요는 없다. 고민을 많이 해야 하는 문제를 하루에 하나씩만 풀이 해 보고 여러 가지 풀이 방법을 생각해 보는 것이다. 풀기 위해서 애를 써야 하지만 그것보다 중요한 것은 문제를 계속 여러 측면으로 해석하고 고민을 해 보는 그런 시도가 오히려 더 중요하다. 잘못된 풀이 방법을 절대로 부정적으로 인식해서는 안 된다. 오히려 잘못된 방법의 원인을 찾아내는 것이 더 중요하다. 풀리지 않더라도 본인이 고민한 과정에 대해서 의미를 부여할 수 있는 그런 심리적인 태도가 중요하다. 이런 경험들이 계속 쌓이게 되면 자신도 모르는 사이에 점점 사고력이 높아지게 된다.

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