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수학은 개념이 중요하고 이를 바탕으로 문제풀이를 통해 응용력을 높여야 한다. 이 표현은, 수학 학습에 있어 정확한 표현임과 동시에 막연한 표현이다. 정확하다는 의미는 말 그대로 수학 학습에 있어서 요구되는 역량이라는 점이다. 막연하다는 표현은 그래서 도대체 개념이 왜 중요하고 문제를 통해 응용력을 높인다는 것이 구체적으로 무엇을 의미하는지의 문제다. 이번 칼럼에서는 개념학습의 허와 실에 대해서 알아보도록 하자.

고등학교에서의 개념학습

개념학습에 대한 논의는 이해와 암기가 그 핵심인 듯하다. 단순한 암기가 아닌 이해를 바탕으로 개념을 암기해야 한다. 그렇게 때문에 암기만 하는 경우나 이해만 하고 암기를 하지 않는 경우에는 수학에서 좋은 결과를 갖지 못한다. 중학교 때 암기 편중의 수학 학습 태도가 습관화됐거나 나름 머리가 좋다(?)는 주변의 평가에 이해 위주의 수학 학습 태도로 일관된 경우, 고등학교 수학에서는 좋은 성적을 기대하기 힘들다.

개념에 대한 암기는 그 구체적인 의미에 대한 이해가 어렵지 않다. 말 그대로 정의를 비롯한 공식 등에 대해 정확하게 암기를 하면 된다. 암기를 하지 않거나 잘못 암기를 해서 문제가 된다. 조금 더 언급하자면 교과서를 비롯한 이론서에 있는 개념만 암기해서는 안 된다는 함정이 있기는 하다. 간혹 어려운 문제를 풀다보면 풀이에 처음 보는 개념(?)이 등장하는 경우가 있다. 이런 경우에 보통은 ‘배운 적이 없는데 내가 이걸 어떻게 알아?’라는 푸념을 하게 된다. 하지만 고등학교 수학이 그렇다. 그 풀이에서 알게 됐으니 개념노트에 정리하고 이해하고 또 기억해야 한다. 고등학교 수학은 이렇기 때문에 어렵고 부단한 노력과 연습이 필요하다. 수포자라는 말이 그냥 생긴 것이 아니다. 

‘개념(공식)’만 암기한 사례와 문제점  

개념은 마구잡이로 암기하는 것이 아니라 우선 이해하는 것이 필요하다. 이런 말을 한 번도 들어보지 못한 학생은 없을 것이다. 문제는 ‘개념을 이해한다’는 정확한 의미와 구체적인 예에 대한 소개와 설명이 많지 않다는 사실이다. 얼마 전 한 학생에서 사인법칙에 대해서 설명을 해보라는 요청을 했던 사례를 살펴보도록 하자.

 

사례를 살펴보면 알 수 있듯이 대다수의 학생이 사인법칙의 공식만 암기하고 있을 뿐 이 공식이 어떤 의미인지에 대한 고민 또는 이해가 없는 것이 현실이다. 그렇다보니 단순한 공식적용 문제는 풀 수 있을지 모르나 고난도 문항에 대한 풀이는 불가능하게 된다. 

혹시나 하는 생각에 학생의 개념노트를 한번 확인해 보았는데 예상을 빗나가지 않았다. 사인법칙 식만 덩그러니 쓰여 있고 원에 내접하는 삼각형 그림이 개념노트에 없었다. 개념노트를 정리하는 태도 자체도 문제가 있는 것이다.

‘개념을 이해한다’는 표현과 구체적인 의미

사인법칙을 예로 들어 개념을 이해하는 구체적인 의미를 살펴보자. 앞서 언급한 사인법칙을 자세히 살펴보자.

 

사인법칙은 우선 변과 각(삼각형), 반지름(외접원)의 세 가지 구성요소로 이루어져 있음을 알 수 있다. 세 가지 구성요소는 곧 미지수로 이해할 수 있고 미지수로 이해하게 되면 사인법칙은 곧 방정식으로 볼 수 있게 된다. 그 다음 사인법칙 식을 분해하면 다음과 같이 두 가지 식으로 구별을 할 수 있다. 

 

①번 식은 변과 각으로 구성이 되어 있고 실제로 문제를 풀게 되면 다음 세 가지 식 중 하나를 이용해서 풀이하게 된다. 다음 식을 구체적으로 살펴보면 변 2개, 각 2개로 구성이 되어 있고(미지수가 총 4개) 미지수 4개 중에서 3개가 주어지고 나머지 하나를 구하는 형태로 진행이 된다.

 

②번 식은 ①번 식과 달리 외접원의 반지름이 개입이 되는 점에서 차이가 나게 된다. 원에 외접하는 삼각형이 등장하는 경우 거의 예외 없이 적용을 해야 할 식임을 알 수 있다. 물론 원이 등장하면서 원에 관한 각종 성질 역시 문제풀이에 적용될 수 있음도 충분히 예측할 수 있다.
‘개념을 이해한다는 것’은 단순히 식을 암기하는 것이 아니라 앞서 다룬 얘기처럼 구체적인 의미를 하나씩 파헤쳐서 이해할 수 있어야 한다. 방정식에서 는 미지수로 이해하면서 사인법칙의 변과 각을 미지수로 바라보고 식을 이해하지 못하는 우를 범해서는 안 된다.
한 가지 더 언급하자면 사인법칙을 알고 있더라도 무용지물이 될 수 있다는 사실이다. 왜냐하면 사인법칙을 알기위해서 구체적인 변과 각을 알아야하는데 문제에서 도대체 제시를 하지 않는다는 사실이다. 왜 그럴까? 이유는 간단하다. 문제에서 주어진 각종 조건을 통해 구체적인 변과 각을 찾기를 요구하는 단계를 추가한다는 사실이다. 그 단계에 대한 해결 없이는 사인법칙은 무용지물이 된다.
개념을 이해한다는 의미를 다시 한번 고민해보고 각자 구체적인 시도를 해보면서 그 의미를 되새기도록 하자. 다음 칼럼에서는 문제풀이의 허와 실에 대해서 다뤄보도록 하자.

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