여보소, 공중에
저 기러기
열 십자 복판에 내가 섰소.
갈래갈래 갈린 길
길이라도
내게 바이 갈 길은 하나 없소.
김소월 시인의「길」이라는 시의 마지막 두 연이다. 수학 문제 풀이는 그과정마다 열 십자 복판에 서 있는 것과 같다. 여러 갈래 길 중 제대로 된 길을 잘 선택하려고 전전긍긍하는 여러분들의 모습이 눈에 선하다. 그러나 이제는 결론을 내야 한다. 위의 시처럼“내게 바이 갈 길은 하나 없소.”라고 외친다면 낭패가 아닐 수 없다.
결론 도출은 일차적으로 신속성과 정확성을 바탕으로 계산력을 요구하는 과정이다. 계산력과 관련하여 생각해야 할 부분이 바로 연산이다. 연산은 ≪수학 (상)≫의『수와 연산』이라는 단원에서 소개되고 있다. 그런데 연산은 비단‘수’와 관련된 것만이 아니다. 모든 수학 단원에서 연산이 나오고 있으며, 다만 구체적인 상황에 따라 그 모습을 달리하고 있을 뿐이다. (예를 들어 수의 연산, 식의 연산, 집합의 연산, 행렬의 연산 등이 있다.) 수의 연산을 기본으로 각종 연산의 특징을 비교하고 대조하는 것이 중요하다. (가령 수에서의‘합’과 집합에서의‘합집합’을 비교 하는 것을 들 수 있다.)
사칙연산, 수학의 모든 단원을 설명할 수 있다 !
덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈. 정말 익숙한 연산이지만 생각하는 것 이상으로 중요하다. 단순한 연산으로 끝나는 문제가 아니라 단원마다 특수한 형태로 표현되기 때문이다. 여러분들이 잘 알고 있는 ① 함수의 평행이동도 실질적으로는 덧셈 연산이다. ② 산술·기하평균 역시 사칙연산과 관련이 있다. 산술·기하평균은 단순히 최댓값 내지 최솟값 구하는데 사용하는 것이 아니라, 어떤 수들의‘합’의 최솟값 내지‘곱’의 최댓값을 찾는 데 사용한다.
③지수법칙과 로그성질도 자세히 들여다보면 사칙연산으로 구성되어 있다. 여기서 특징적인 것은 바로 사칙연산들이 서로 상호 관계를 가지고 있다는 사실이다. 가령 밑이 동일한 두 로그 사이의 합이 진수 간의 곱과 같다는 성질을 떠올려 보면 합이 곱으로 전환되는 것을 알 수 있다. 그냥 마구잡이식으로 외웠던 지수법칙과 로그의 성질에 사칙연산의 내용들이 스며들어 있는 것이다.
④ 등차수열, 등비수열, 여러 가지 수열에서 각종 합 공식, 대부분 열심히 외우고 있을 것이다. 명칭에서 금방 알 수 있듯이, 규칙을 가진 수들 사이의 덧셈 연산에 대한 공식인 셈이다.
⑤ 무한급수는 특히 규칙성을 갖는 어떤 수들을 무한히 더했을 때, 그 값을 구할 수 있는지를 배우는 단원이다. 무한한 덧셈이 가능하다는 사실이 흥미롭다.
⑥ 통계에서 이산확률분포의 평균과 분산의 경우도 사칙연산과 밀접한 관련을 가지고 있다. 평균은 각 확률변수와 확률의‘곱’들을 구한 뒤 그것들을 전부‘덧셈 연산’ 한 것이다. 분산의 경우, 그 정의가‘편차’제곱의 평균인데, ‘차’라는 표현을 주목하면 뺄셈까지 들어가 있음을 쉽게 알 수 있다.
이렇듯 사칙연산은 고교수학의 많은 단원에 그 의미가 녹아들어 있다. 사칙연산이 다른 영역에서는 어떻게 변형되는지 살펴보는 것은 수학에 대한 이해의 폭을 넓힐 수 있는 좋은 기회가 된다.
모든 결론이 정답이 될 수는 없다 !
‘답이 두 개가 나왔네. 이럴 어쩌지. 선택지는 답이 하나뿐인데......’
풀이 과정에서 나온 답이 전부 정답이 될 수 없다. 정확히 말하면, 잠재적인 정답이라고 할 수 있다. 정답을 결정짓기 위해서는 문제에 주어진 조건과 기타 여러 이론적인 부분들을 끝까지 확인해야 한다.
풀이를 위해 사용한 ad-bc=0 이라는 공식을 정확히 이해하면, 해가 무수히 많은 경우(부정)와 해가 없는 경우(불능)를 모두 포함하고 있다. 두 연립방정식을 일차함수로 이해하면, ad-bc는 기울기와 관련이 있다. ad-bc=0 이라는 것은 두 함수의 기울기가 같음을 의미한다. 두 함수의 기울기가 같은 경우는 두 함수가 일치하는 경우와 평행하는 경우로 나타낼 수 있는데, 해가 무수히 많다는 것은 두 함수가 일치하는 경우에 해당한다. 식으로 이해하면 다음과 같다.
이렇듯 모든 결론이 정답이 될 수 없다. 반드시 조건과 기타 이론적인 부분을 다시 점검해서 정답을 가려낼 수 있어야 한다.
결론 도출 과정의 문제점 및 탈출
이 부분에서 가장 중요한 것은 위에서도 언급했듯이 신속성과 정확성이다. 각종 계산 실수로 인하여 오답이 나오게 되면 여태까지의 과정 자체가 물거품이 된다. 특히 출제자가 계산 과정 실수를 감안해서 선택지를 만들어 놓게 되면 치명적이다. 또는 계산 과정에서 너무 많은 시간을 빼앗겨서도 안 된다. 이럴 경우 다른 문제에 할애할 시간이 없어져 더 많은 문제를 못 풀게 된다.
모든 단원에서 결론 도출 과정은 중요하며 빠질 수 없는 부분이다. 부호를 빠트리지 않게 잘 처리하고, 무엇보다도 풀이 과정을 깔끔하게 기록해서 스스로 실수를 유발하지 않도록 해야 한다. (가능하다면 검산도 잊지 말자.)
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