그림이 아닌데, 수학을 어떻게 그리고 또 이해한단 말인가? 문제를 풀 때, 세우는 식, 그래프와 표 그리기는 형상을 통해 답을 얻어가는 과정이다. 형태가 그림과 다를 뿐이지 엄연히 그리는 과정이다. 단 일정한 룰을 지켜야 한다는 조건이 있을 뿐이다.
식의 생성은 문제에서 주어진 여러 상황을 통해 식을 세우는 과정으로 미지수를 파악하여 방정식이나 부등식, 함수 등을 생성시키는 것이다. 그래프 그리기는 특히 함수에서 문제가 되는데, 그리기에서 끝나는 것이 아니라 보통, 그래프를 해석하는 과정까지 필요하다. 표의 그리기는 문제에서 주어진 복잡한 조건을 간결하게 정리하기 위해 필요한 과정이다.
식·그래프·표의 변형은 이미 문제에서 주어지거나 생성된 식ㆍ그래프ㆍ표를 변형하는 과정이다. (※ 이 과정이 제일 힘들고 어려운 부분이다. ‘공식 등’을 외우고 있는 상황에서도 문제풀이가 원활하지 않는 경우가 대부분 이 단계에서 좌절하는 경우라고 할 수 있다.)
식·그래프·표 어떻게 그려야 하나?
식의 생성은 우선 미지수 파악이 선행되어야 한다. 다음으로 어떤 종류의 식을 생성해야 하는 지도 중요하다. 대부분의 경우 방정식을 생성하지만, 부등식을 생성해야 하는 경우도 종종 발생한다. 그래프 그리기는 함수의 경우에 있어서는 필연적인 과정이다. 함수가 등장하면 대부분 그래프를 그려봐야 한다. 가끔 어려운 그래프가 있는데, (예를 들면 그 끔찍한 가우스 그래프나 가수의 그래프) 평소에 자주 그려서 익숙하게 만들어 놓아야 한다. (실제 시험 상황에서 생각을 떠올려 그린다는 것은 거의 불가능하다.) 함수뿐만 아니라 식의 생성이나 변형 이후에도 항상 생각해야 하는 것이 그래프 그리기이다. 방정식이나 부등식을 식 그 자체로써 풀 수도 있으나, 함수로 바꿔 그래프를 통해서 풀게 되면 이해가 쉬워지거나 빨리 답을 찾을 수 있는 경우가 있다. 따라서 항상 식이 등장하면 의식적으로‘저 식이 그래프로 표현 가능한가?’에 대해서 생각할 필요가 있다.
표ㆍ수형도를 그려야 하는 경우는 ≪수학Ⅰ≫에서는 그렇게 많지 않지만『수열』부분에서 표를 그리면 문제가 쉽게 풀리는 경우가 있다. 『경우의 수』나『확률』과『통계』부분에서도 표와 수형도를 적극 활용하면 문제풀이가 더 쉬워진다.
위 상황은 In을 구하지 못해서, 즉 식 생성이 불가능하여 문제를 못 풀게 된 것이다. 문제를 보면 알겠지만, ≪수학 10-나[수학 (하)]≫의 원의 방정식 부분과 ①통합영역으로 출제되었다. (여기서부터 좌절인 경우도 많을 것이다.) 일단 길이 을 구하려면, 두 교점을 알아야 되는데, 그림에서 보듯이 공통현의 방정식이 두 교점을 지나니까, 공통현 방정식을 구해서 한 원과 연립하면 교점 좌표를 구할 수 있다. 우선 ②공통현 방정식을 구하는 것이 문제인데, ≪수학 10-나(수학 (하)≫에 나오는 공통현 방정식에 관한 공식을 모르면 식을 세울 수 없다. 두 원을 빼서 이차항을 없애면, 공통현의 방정식이 나온다. 즉 C - Cn해서 정리하면,
이 문제는 결국 공통현 방정식을 구하는 공식을 몰라서 ln을 생성하지 못했고, 그래서 풀지 못하게 된 것이다. 기본적으로 무한급수 문제인데, 원의 방정식 관련 이론을 개입시켜 통합영역 문제로 구성한 것이다. 마지막에는 또 다시 분수 꼴 수열의 합 개념을 넣어서 끝까지 괴롭히고 있는 문제라고 할 수 있다. ‘식 생성 등’과 관련하여 발생하는 문제점 ‘식의 생성 등’을 해야 하는 단계는 문제에 대한 분석 과정이 꽤 이루어진 상태라 할 수 있다. 즉 조금만 더 진행하면 결론을 도출할 수 있게 된다. 그런데 어려운 문제들은 대부분 이 단계가 상당히 까다롭게 구성되어 있다. 필수 문제에 어느 정도 자신감이 생긴 이후 조금 어려운 문제를 접했을 때, 문제풀이가 잘 안 되어 좌절한 경험이 있을 것이다. 그러한 문제점의 가장 근본적인 부분이 바로‘식의 생성 등’의 단계가 제대로 해결되고 있지 못하기 때문이다.
탈출
언급된 단계 모두가 중요하지만, 그 중에서도 중요하면서도 쉽지 않은 부분이‘식 변형’이라 할 수 있다. 간단히 이루어지는 식 변형이 있는가 하면, 많은 사고를 요하는 식 변형도 있어서 문제풀이에 가장 큰 난관이 된다. 이 단계를 잘 극복하기 위해서는 ≪수학 10- 가≫와 ≪수학 10-나≫ 과정에 있는‘식’과 관련한 단원에 대한 기본적인 학습이 필요하다. 그리고 결국은 다양한 문제풀이를 통한 감각을 키우는 것이 제일 중요한 과정이라고 할 수 있다. 식·그래프·표와 친하지 않으면 답을 얻을 수가 없다 !!
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