다음 중 하나를 선택하여 정의하시오.
이런 질문을 받는다면, 소위 대략 난감한 친구들이 많을 것이다. 왜 대략 난감일까? 그건‘정의의 정의’를 제대로 알고 있지 못하기 때문이다. 만약 정의를 구성하는 개념들을 알고 있다면, ‘소녀시대’를 정의하기 위해 어떤 요소들을 넣어야 하는지를 알 수 있어 위의 물음에 당혹스러울 필요가 없다.
넌 ‘정의의 정의’가 뭔지 알고 있니 ??
‘정의’는 어떤 대상을 보편적으로 논의하기 위해서 사용하는 용어나 기호의 의미를 나타낸 문장 또는 식을 의미한다. 이 문장에서는 여러 개념 요소들을 뽑아낼 수 있다.“ 보편적으로”,“ 용어나 기호의 의미”,“ 문장 또는 식”. 우선“보편적으로”라는 부분, 이 부분에서 정의가 가지는 의미는 해당 단원의 내용을 전개하기 위한 시작점이라는 것이다. 가령 집합이라는 단원을 공부하기 위해 집합에 대한 정의가 우선적으로 이루어지지 않으면 그 이하의 내용들은 아무런 의미가 없게 된다. 집합의 정의가 선행되지 않으면“차집합, 공집합, 교집합, 드모르간 법칙”등에 대한 논의는 그 의미를 잃어버리게 된다. 그리고 각종 공식 등의 증명에 있어서도 대부분 정의가 기본적으로 사용되므로 정의는 수학에서‘엄마’와 같은 존재라고 할 수 있다. 그리고 정의의 대상은“용어나 기호”가 된다. 앞서 얘기했던“소녀시대” 는 기호는 아니고 용어라고 할 수 있다. 기호에 대한 정의의 구체적인 예는 시그마(Σ)의 정의라고 할 수 있다. 시그마의 정의는 알다시피 다음 과 같이 정의한다.
Σ(시그마)라는 기호에 대한 정의를 알지 못하면, 시그마로 표현된 식은 그야말로 소위 외계어와 다를 바가 없다. 이런 의미에서‘정의’는 하나의 약속이라는 의미로 이해할 수 있다. Σ(시그마)라는 기호를 위와 같이 정의하고 사용하기로 약속한 것이다.
다음 중 하나를 선택하여 정의하시오.
정의는“문장”또는“식”으로 표현된다. 앞서 언급했던‘소녀시대’나 기타 그룹들은 문장으로 표현이 될 것이다. 물론 누군가 식으로 표현할 수 있다면 그 기발함에 다들 신기해할 것이다. 수학에서 정의는 문장이나식으로 표현이 되는데, 역행렬의 정의를 살펴보자.
위의 역행렬 정의는 식으로 구성되어 있는 문장형태이다. 대부분의 친구들이 저 정도야 우습지 그러는데, 실제 역행렬 단원 문제의 모든 시작점은 역행렬의 정의에서 시작한다. 여러분들에게는 너무나 당연하고 자명한 역행렬의 정의를 제대로 알지 못해서 말썽이 생기는 것이다. 여기서 질문 하나. 다른 단원과 달리 역행렬 단원에서 역행렬의 정의가 가지는 특수한 점이 무엇인가? 이 물음에 다음과 같은 답이 나오지 않으면 역행렬의 정의를 제대로 알지 못하고 있다고 해야 한다. 답은‘존재여부’이다. 다른 단원에서 정의가 나오면 그‘존재여부’가 문제되는 경우는 극히 드물다. 그런데 역행렬의 경우에는 어떤 행렬 A의 역행렬을 물어 볼 때, 존재하지 않을 수도 있는 특수성이 존재한다. 이는 역행렬의 정의를 만족시키지 못하는 특수한 행렬이 존재함을 의한다. 이러한 점에서 앞서‘정의의 정의’를 설명하는 부분에서“보편적으로”라는 개념의 의미가 한층 더 선명해진다. “절대적으로”가 아닌“보편적으로”라는 의미는 예외적인 경우가 있음을 의미한다. 그 구체적인 예가 바로 역행렬이 존재하지 않는 행렬인 것이다. 그러니 시험에 자주 등장할 수밖에 없다. 역행렬이 존재하지 않으면, 행렬에 관한 등식 양변에 역행렬을 곱해서 식을 간단히 할 수도 없고, 이원일차연립방정식도 행렬을 이용해서 풀수가 없다. 역행렬이 존재하지 않는다는 의미가 행렬 문제풀이에서 이와 같이 또 다른 성질들을 만들어 내는 것이다.
정의, 풀어 헤쳐내지 못하면 시체와 다름없다 !!
정의는 구구절절 사연을 써놓은 것이 아니라 매우 압축적으로 서술한 문장이나 식이다. 정의 하나가 나오기 위해 무수한 학자들의 시행착오가 있었고, 그 과정에서 수 십 년에서 때로는 수 백 년 아니 수 천 년이걸렸을 수도 있다. 그런데 정의를 그 자체로 기억하고 품고 있다고 해서 모든 것이 해결된다는 것은 어리석은 생각이다. 2009년 5월 어느 날 상 위권 성적을 유지하는 한 수험생에게 등차수열의 정의를 물어보고 일반항을 물어본 후에 일반항에서 미지수가 몇 개인지 기습적인 질문을 한적이 있다. 아마 내심으는“장난하세요?”라고 했을지 모르겠다. 그런데 그 반응에 필자는 다소 충격적이었다. 우선 그런 질문 자체가 소위 쌩뚱 맞았는지 답을 말하는데 확신이 없어 하는 태도에 한 번 놀랐고, “세 개요”라는 말에 또 한 번 놀랐다. 등차수열의 정의를 식으로 표현한 a n = a1 + ( n - 1 ) d (단, n = 1 , 2 , 3…)에서 미지수가 3개 라는 답은 등차수열 일반항을 얼마나 형식적으로 외웠는지를 반증하는 것이다. 도대체 n 이 어떻게 미지수인가? 이쯤에서 등차수열 일반항 그냥 외우면 되지 미지수가 왜 중요하나요? 라고 반문하는 친구들이 있을
것이다. 그 답은 간단하다. 등차수열 관련 수능 기출문제를 지금 당장 펴서 풀지 말고 눈으로 쓱 한번 살펴보기 바란다. 문제에서 조건이 몇개 주어져 있는지를. 분명 2개가 주어져 있을 것이다. 이는 무슨 의미인가? 결국 미지수가 두 개(a 1, d )이기 때문에 필연적으로 조건이 2개 주 어질 수밖에 없는 것이다. 결국 등차수열에서 문제가 어려워지는 것은 그 2개의 조건이 어떤 형태로 주어지느냐를 통해 판가름 나는 것이다. 이렇게 정의를 꼼꼼히 풀어헤쳐 내지 않으면 그냥 문제를 풀고 있지, 음미하면서 푼다는 것은 이미 물 건너 간 일이다. 마지막으로 정의를 제대로 풀어헤쳐내지 못해 힘들어하는 구체적인 예를 살펴보자. <<수 I>> 에서『여러가지 수열』단원의 시그마의 정의이다. 여기에선“=(등호)”를 제대로 풀어헤쳐내지 못하면 문제 풀이가 너무나 힘들어진다. 신기하게도 여기서는“=(등호)”를“ ⇆ ”와 같이“방향성”으로 재해석해야 한다. 문제를 보면서 그 유형이
결정하지 않으면, 풀이가 거의 불가능해진다.(수능 2009년 23번과 평가원 2008년(9월) 25번 문제를 참고하자.) Σ(시그마)의 정의를 모르는 친구들이 과연 몇 명이나 되겠는가? 그런데 과연 Σ(시그마)의 정의를‘제대로 풀어헤쳐’아는 친구들이 몇 명이나 되겠는가? 는 의문이 아닐 수 없다.
정의를 제대로 이해 못해 생기는 말썽들
정의는 해당 단원의 여러 개념들을 전개하기 위한 기초이므로 소홀히 하면 그 단원 자체의 본질적인 부분을 외면한 채, ① 공식 등의 암기에 만 집중할 가능성이 높아진다. 이 경우 단순히 암기한 공식들이 서로 관련성을 맺지 못해 문제에 적용하는 데 어려움을 겪게 된다. ② 영역 규명이 어려워지거나 아예 영역을 착각할 가능성이 생긴다. 실제로 제7차 교육과정 <<수학Ⅰ>>의『확률』단원을 보면, 배반사건과 독립사건이 나온다. 그런데 이 두 개념의 정의를 혼동해서 독립사건으로 풀어야 하는 문제를 배반사건 정의로 문제를 풀다가 선택지에 답이 없어 결국 그냥 찍었다는 학생이 있었다. (사실 이런 착각을 하는 학생은 꽤 많다.) 정의를 명확하게 기억하지 못해서 스스로 함정에 빠진 경우라고 할 수 있다. 정의뿐만 아니라 모든 이론적인 내용에 있어서 명확하고 확실한 이해는 필수 조건이다.
여러분 이제“소녀시대”등 앞서 언급했던 아이돌 그룹들을 스스로 정의해 보자!!
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