왜 수학은 여전히 난공불락인가? 머리를 싸매고 수학 문제와 씨름을 해도 더 이상 성적이 오르지 않는다고 포기하는 학생들이 있다. 안타깝다. 성적이 오르지 않는 데는 그만한 이유가 있다. 수학 고득점 을 위해‘진짜 알아야 할 것’이 따로 있기 때문이다. 우리가 알아야 할 ‘진짜 알아야 하는 것’들을 <수학의 달인>의 칼럼을 통해 하나씩 살펴 보고자 한다.
어떤 문제를 접하면 인간의 뇌는 기본적으로 다음과 같은 과정을 거쳐문제를 해결한다.
수학 문제 역시 이러한 과정을 거친다. 다만 일반적인 문제 해결 과정보다 훨씬 더 정밀한 과정이 필요하다. 수학 문제 풀이는 보통 다음과 같은 과정을 거치게 된다.
구체적으로 살펴보면, 문제풀이에서“인지”는“영역 규명”과정이고,“ 사고와 응용”은“정의 / 공식·법칙·성질·정리 / 식·그래프·표의 생성 및 변형”과정에 해당한다. 마지막으로“결론”은“연산”과정이라고 할 수 있다. 각각의 과정들이 실제 수학 학습에서 어떻게 구현되는지, 첫번째 과정인‘영역 규명’의 실체부터 파악해 보자.
영역 규명, 문제풀이의 첫 단추… 지도 그리는 연습부터 하라?
시험지를 받아서 1번 문제를 보며 제일 먼저 생각하는 것은‘어느 단원문제지?’이다.“ 지수 단원인데, 지수법칙을 물어보는 문제구나!”이런 식의 자문자답이 이루어지면 일단 큰 고비를 넘긴 셈이다. 그런데 막상 그 문제가 어떤 단원에 속하는지 도대체 종잡을 수 없으면? 더 이상 과정을 진행시킬 수가 없게 된다. 이처럼‘영역 규명’과정은 문제풀이의 시발점으로 해당 문제가 구체적으로 어느 단원에 해당하는지를 밝혀내는 과정이다.
문제가 속한 단원을 찾아내는“영역 규명”과정은, 지도에서 특정 지점을 찾아내는 것에 비유할 수 있다. 여기서‘지도’는 무엇인가? 영역 규명을 위해서는‘지도’가 필요하다. 구체적으로 표현하면, 아래<표>와 같다. 교과서에는 중영역부터 큰 단원으로 표현되어 있는데, 그 보다 더 상위의 4개‘대영역’이 존재하고 있다. ‘대영역’을 이해해야 하는 이유는 그 하위 영역(중영역 / 소영역 등)의 성격을‘대영역’이 규정하기 때문이다. 가령‘대수학’의 경우는‘식의 생성·변형·풀이’가 가장 핵심적인 내용이다. 따라서 그 영역에 해당하는 ‘수열·행렬’등의단원들은‘식의 생성·변형·풀이’에 주목해서 학습해야 한다. 눈치 챈친구들도 있겠지만, 결국 학교에서 수업을 듣는 것이 이와 같이 거대한 ‘지도’를 만드는 과정이 되는 셈이다. 이러한‘지도’는 보통 머릿속에 넣어 놓고 문제를 풀게 되지만, 그렇게 하기 위해서는 흰 색 전지를 책상 앞에 붙여 놓고 아래 <표>와 같이 스스로 작성하는 연습을 해야 한다.
<영역 규명 지도>로 위치를 파악하라… 질서정연한 풀이 가능, 통합 영역 문제도 거뜬!
전지에 완성된 <영역 규명 지도>가 있으면 자신이 현재 어느 부분을 공부하고 있는지, 그 위치를 파악할 수 있다. ①‘지금 내가 뭘 하고 있지?’라는 혼란을 방지할 수 있는 것이다. 또 <영역 규명 지도>가 있으면
②‘통합 영역 유형 문제’에 대한 안목이 길러진다. 통합영역 문제를 접했을 때, 단순히 문제에만 빠져 있기보다 거시적인 안목에서 <영역 규명지도>를 한 번 쓱 보라. 문제가 훨씬 빨리 와 닿고, 왜 두 단원이 통합될 여지가 있는지 느낄 수 있게 된다. 그리고 가장 매력적인 것은 ③ 시험시간에 쫓기지 않게 된다는 점이다. 시험 시간이 부족한 이유는 대부분 ‘영역 규명’과정을 신속하게 처리하지 못해서 문제를 어떻게 전개시켜야 할지 몰라 갈팡질팡하기 때문이다. 수학 학습의 궁극적인 목적은‘질서정연한 풀이’라고 말할 수 있다.
그 출발점인‘영역 규명’은, 특히 수능에서‘통합 영역 유형 문제’가 증가하는 추세에서 그 의미가 더욱 크다. 여러 개의 단원이 통합되어 있을 때, 재빨리 각 단원을 규명하고 그 단원 간의 연결고리를 신속하게 찾아내는지가 문제 해결의 핵심이다. 학생들에게“영역 규명을 잘하려면 어떻게 해야 하나요?”라는 질문을 받는다. 필자의 답은 간단명료하다. “지금 당장 전지에 목차를 다 써라!”
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