거침없이 수리논술 하이킥
거침없이 수리논술 하이킥
  • 대학저널
  • 승인 2011.04.28 15:23
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경희대·서울대 수리논술 분석










경희대, 고려대, 이화여대, 중앙대, 한양대(상경계) 등의 논술고사에 부분적으로 삽입되는 수리형 문제가 수험생들에게 불러 일으키는 생경함과 두려움은 자못 심각한 수준이다. 이 문제들이 당락에 미치는 영향력도 큰 만큼, 막연한 두려움을 떨치고 맞대면하는 용기가 필요하다. 실체를 정확히 알지 못할 때, 두려움은 더욱 커지는 법이니까.

이번 호에선 수리논술의 전형적인 문제들을 살펴본다. 2008학년도 서울대 모의논술고사 문제와 2011학년도 경희대 모의논술고사 문제 중에서 수리논술문제들만을 선별했다. 서울대학교는 실제 논술고사에 직접적인 수리논술 문제를 도입하진 않았으나, 통합교과형 논술고사로 변모하는 과정에서 다양한 예시문제들을 선보였다. 이 중 수리논술 문제가 포함되어 있다. 이른바 수리논술 문제를 제시하는 여러 대학교에서 참조할 만한 하나의 표본이라 할 수 있겠다.

다만, 이 문제만으로 수학적 사고를 검출할 수 있느냐는 질문은 여전히 뒤따를 수 있다. 아마도 이런 난점이 서울대로 하여금 수리논술 문제 도입을 꺼리게 만들었을 것이다. 경희대학교는 2009학년도부터 수리논술을 도입하고 있다. 특히 2010학년도와 2011학년도에 이르러선 수리논술이 더욱 본격화된 양상을 보여준다. 2009학년도에 처음 수리논술을 선보일 때는 필요한 계산 공식을 제시하여 학생들이 주어진 자료의 값만 대입하면 원하는 결과를 얻을 수 있는 수준이었으나, 2010학년도 이후엔 수험생들이 직접 필요한 계산식을 수립하는 것을 요구하는 수준으로 업그레이드되고 있는 것이다. 아마도 적지 않은 백지 답안이나 그에 가까운 무기력한 답안들이 속출했을 것이다.

이 점은 경희대에도 상당한 고민을 안겨주었을 것이다. 수학의 여러 분야에 대한 지식을 몇몇 수리논술 문제로 정밀하게 확인하긴 곤란하다는 점은 분명한 데 반해, 낯선 논제의 외양으로 인해, 적지 않은 우수한 인재들이 탈락의 고배를 마시고 있기 때문이다. 하지만 새로운 논제 유형을 고안하는 것보단, 기존 유형을 약간씩 보완하는 편이 쉽다는 점을 고려할 때, 2012학년도에도 수리논술 요소는 경희대만의 고유한 스타일로 존속될 가능성이 높다. 따라서 경희대학교를 지원하는 학생들이라면, 사전에 충분히 이 문제들을 점검하는 자세가 필요하겠다. 중앙대나 이화여대를 준비하는 학생들에게도 도움이 될 것이다. 수리논술 문제는 일반적인 논술문과는 성격을 달리하기에 자주 접할 수 없기 때문이다.

이달의미션
아래 논제를 읽고 논술문을 작성해보자. <논제 I>은 2008학년도 서울대학교 모의논술고사 문제이고, <논제 II>는 2011학년도 경희대학교 모의논술고사 문제이다. 논술과 결합되는 특성상 수리적 난이도는 그리 높지 않다. 그러니 첨부된 예시답안을 보기 전에 먼저 자신의 답안을 작성하려는 수고가 필요하다.

논제 I
<제시문>
사람들은 대체로 수치를 정확하게 이해하고 사용한다. 예를 들어, 우리나라 국회의원 중 남자의 비율이 약 94%라고 했을 때 자신이 대한민국 남자이기 때문에 국회의원이 될 확률이 94%라 믿는 사람은 없다. 실제로 대한민국 남자가 국회의원이 될 확률은 아주 낮다. 그런데 2002년에 노벨상을 수상한 카네만(Kahneman)과 그의 동료들은 사람들이 수치를 정확하게 이해하지 못해 판단오류를 범하기도 한다는 것을 보여주었다. 이러한 판단오류는 교육을 잘 받은 사람에게서도 발생한다.

(가)
에이즈를 야기하는 바이러스(HIV)의 발병률이 0.1%라고 하자. 한 과학자가 HIV 보균자를 탐지할 수 있는 검사를 개발하였다. 그런데 이 검사 방법이 완벽하지는 않다. 이 검사에서 양성이 나오면 보균자로, 음성이 나오면 비보균자로 진단하게 된다. 이 검사는 HIV 보균자일 경우에 검사 결과가 100% 양성으로 나오지만, HIV 비보균자인 경우에도 양성으로 나올 확률이 5%가 된다. 만약 어떤 사람의 검사결과가 양성으로 나왔을 때, 이 사람이 HIV 보균자일 확률은 얼마일까? 이 질문에 대하여 대부분의 사람들은 95%라고 대답한다. 그러나 정답은 2%이하이다.

(나)
육군 총기난사 사건의 범인이 인터넷 게임광이라는 사실이 알려지면서 게임과 현실 속 폭력범죄의 연관성이 논란거리로 떠오르고 있다. 군 당국에 따르면 범인은 평소 휴가 때 국산 온라인게임을 열심히 즐기는 ‘게임광’ 수준의 게이머였던 것으로 나타났다. 이에 따라 “범인이 게임을 광적으로 즐겼다면 내부구조가 사각형인 군 내무반을 같은 사각형 구조인 컴퓨터 화면 속의 가상현실로 착각했을 가능성도 배제할 수 없다”는 등 이번 사건과 게임의 연관성을 시사하는 관측이 일각에서 제기되고 있다. 게임과 폭력성의 상관관계가 부각된 것은 이번이 처음은 아니다. 특히 게임 내용이 갈수록 사실적이고 잔인해지면서 외국에서는 논쟁이 뜨거워지고 있는 추세다. 미국에서는 컬럼바인 고등학교 총기난사 사건의 희생자 가족들이 “범인들이 폭력게임의 영향을 받았다”며 유명 게임업체를 상대로 소를 제기하기도 했다. 이에 따라 미국에서는 학부모 단체나 종교 단체가 주도해 폭력적 게임에 대한 규제를 촉구하는 운동이 활발히 벌어지면서 게임업계와 갈등을 빚고 있다.  

논제 1. 제시문 (가)에서 정답이 2% 이하인 이유와 사람들이 95% 이상이라고 잘못 판단하게 되는 이유를 각각 설명하시오. (300자 이내)

논제 2. 제시문 (나)의 신문기사는 게임이 청소년의 폭력범죄의 원인임을 강력히 시사하고 있다. 만약 이것이 사실이라면, 인터넷 게임을 하는 많은 청소년들은 심각한 위험에 노출되어 있으며, 이는 커다란 사회문제가 아닐 수 없다. 한 학생이 폭력범죄에 미치는 게임의 영향을 알아보기 위해 비행 청소년 1,000명을 조사하였는데, 그 중 990명이 게임에 중독되었거나 중독될 위험이 있는 집단으로 분류되었다. 그는 이러한 결과에 근거하여 게임이 청소년 폭력범죄의 주범이라고 주장하였다. 논제 1에 근거하여 이러한 주장을 비판하시오. (400자 이내)

논제 3. 논제 2에서의 비판에 근거하여 게임과 폭력의 상호연관성을 정확하게 파악하기 위한 방안을 제시하시오. (500자 이내)


논제 II
어떤 국가가 노동과 자본을 이용하여 X재와 Y재를 생산한다고 가정하자. 이 나라는 총노동량은 200단위,그리고 총자본량은 300단위를 가지고 있다. X재와 Y재 한 단위를 생산하기 위해 필요한 노동과 자본의 소모량은 아래의 표와 같다.







이 나라가 사회적 효용을 최대화하기 위해 생산해야 하는 X재와 Y재의 양을 구하시오. 그리고 그 계산 결과에 근거하여 제시문 [가]와 [나]의 주장을 비판하시오. (501자~600자: 30점)

논제 해설

논제 I
논제는 수학 교과지식을 활용하여, 일상에서 접하는 수리적 해석의 오류를 설명할 수 있는가를 평가하려는 목적을 갖고 있다. 수학 1에서 다루는 두 사건의 종속 여부에 대한 조건부 확률의 개념을 일상 현실 속에서 적용하여 올바른 해석을 할 수 있는지를 확인하려는 것이다. 사실 문제를 일별하고 나면 쉽게 일반인들의 선입견이 오류임을 알 수 있다. 제시문에서 밝히고 있듯이, 상식적으로 대한민국 남자가 국회의원이 될 확률이 94%는 아니기 때문이다. 출제자들은 이런 상식 속에서 수리적 원리를 찾아내고, 그 원리를 또 다른 사실관계(인터넷 게임과 현실 속의 폭력)에 적용하여 올바른 인과 관계를 파악할 수 있는가를 평가하려는 것이다.

문제에 접근하는 방식은 다양할 수 있으나, 핵심은 정확한 계산식을 찾아내는 것이다. 자료를 주의 깊게 읽고 주어진 조건에서, 임의의 한 사람이 양성 판정이 나올 확률은 0.1 / (0.1 + 99.9 * 0.05)임을 제시할 수 있어야 한다.

대부분의 학생들은 <논제 I-1>에 무난하게 답하였다. <논제 I-1>에 제대로 답한 학생들은 <논제 I-2>에도 무난하게 답을 하였다. 그러나 주어진 제시문을 넘어 독창성으로 답해야 하는 <논제 I-3>의 경우는 그리 뛰어난 답안이 많지 않았다. 대학측 자료에 따르면, <논제 I-3>까지 포함하여, 대략 10% 가량의 학생들이 높은 점수를 획득하였다고 한다. 일부 학생들은 논제와 상관없는 답안으로 상당한 감점을 당했다. 실패한 답안들의 일부는 논제의 지시사항을 따르지 않고 있다는 점도 지적할 수 있다. <논제 I-2>는 <논제 I-1>에 근거하여 답하라고 하였는데 <논제 I-1>의 내용을 무시한 답안이 있었고, <논제 I-3>은 <논제 I-2>의 비판에 근거하라고 지시하였음에도 불구하고 따르지 않은 학생이 많았다. 즉 이 문항은 논제들 사이의 연결이 중요한데, 이를 파악하지 못하고 세 논제를 개별적으로 접근하고 있다. 이런 답안들은 모두 논제의 자의적 왜곡이라는 중대한 결격사유를 범하고 있는 것이다. 늘 문제가 무얼 요구하는지 꼼꼼하게 확인하는 자세가 중요하다.

논제 II
논제는 수리적 계산 능력과 <지문>의 내용과 연결해 계산 결과의 의미를 설명할 수 있는 능력을 평가한다. 수험생들은 주어진 조건에서 간단한 수식을 세울 수 있어야 한다. 이 나라가 기본적으로 단일 재화만을 생산할 때 X재는 최대 50 단위를 생산할 수 있고, 이때의 사회적 효용은 400 단위가 된다. 같은 방식으로 Y재만 생산한다면 최대 30 단위를 생산할 수 있고, 이때의 사회적 효용은 360 단위가 된다. 두 재화를 모두 고려할 때, X재와 Y재의 생산량은 X?0, Y?0, 4X+5Y쬩200, 3X+10Y쬩300의 연립부등식을 만족해야 한다. 그리고 이 나라가 두 재화를 함께 생산한다면 사회적 효용함수인 8X+12Y는 4X+5Y=200와 3X+10Y=300의 두 식이 교차하는 점 (X, Y) = (20,24)에서 최대가 되며 이때의 최대효용은 448이다. X와 Y 두 재화를 균형있게 생산함으로써 사회적 효용이 늘어나는 것이다.

이를 지문의 내용과 연결시켜 본다면 인간의 생활수준은 경제적인 성장뿐만 아니라 환경보호도 중요하게 고려될 때 사회적 효용이 극대화될 수 있음을 알 수 있다. 물질성장만을 추구하여 환경이 파괴되면 인간 삶의 기반이 위협을 받아 생활수준이 저하될 수 있다. 반면 환경가치만을 추구하면 사람들의 물질적 욕구가 충족되지 못하는 문제가 발생될 수 있다. 그러므로 생활수준을 높이기 위해서는 환경보호와 경제성장의 균형을 유지할 필요가 있는 것이다. 이런 내용들이 출제자들이 기대한 답안의 핵심요소들이다.

논제 I-1 예시 답안
여러 사람 중 임의로 한 사람을 뽑았을 때, 그 사람이 양성결과를 받을 확률은 얼마일까? 다수의 사람 중 HIV 보균자가 뽑힐 확률은 0.1%, 그들이 양성판정을 받을 확률은 100%이다. 반면, 비보균자가 뽑힐 확률은 99.9%, 양성판정을 받을 확률은 5%이다. 즉, 임의의 한 사람이 양성결과를 받을 확률은 ‘(0.1×100+99.9×5)×1/1000’이다. 양성판정을 받은 사람 중 실제 보균자일 확률은 ‘(0.1×100+99.9×5)× 1/1000’중 ‘0.1×100×1/1000’, 즉 약 0.02 이다. 그런데 사람들은 95%라는답변을 했을까? 이는 확률에 있어 중요한 준거집단을 올바르게 인식하지 못했기 때문이다. 그들은 양성판정을 받은 사람 중 5%가 비보균자라 생각하며, 기준을 혼동한 것이다.

논제 I-2 예시 답안
위 논제에서 한 학생이 청소년 폭력범죄와 게임의 연관성을 알아보기 위해 비행청소년을 대상으로 조사하였고, 그 결과 1000명 중 990명이 게임 중독과 관련성이 크다고 하였다. 이 조사를 언뜻 본다면, 게임이 청소년 폭력에 미치는 영향력이 매우 크다고 생각될 것이다. 그러나 이 조사에는 오류가 있다. 게임이 폭력범죄에 미치는 영향을 알기 위해서는 게임중독 집단이 기준집단이 되어야 한다. 그러나 위 학생은 비행청소년을 기준으로 삼고 있다. 이는 폭력범죄자가 게임에 중독 될 수 있는 비율을 보여주는 것이지, 게임 중독이 폭력범죄자를 만들 수 있는 비율을 보여주는 것이 아니다. 이는 제시문 (가)에서 사람들이 기준집단을 잘못 잡아 잘못된 결론을 도출하는 것과 같은 상황이라 할 수 있다.

논제 I-3 예시 답안
게임과 폭력의 상호연관성을 정확하게 파악하기 위해서는 어떻게 해야 할까? 이둘의 상호연관성을 파악하기 위해서는 게임이 폭력에 미치는 영향과 폭력이 게임중독에 미치는 영향을 모두 조사해야 한다. 게임의 폭력성이 현실의 폭력을 증가시킬수도 있지만 폭력적인 사람이 게임의 폭력성에 매료되어 중독으로 이어질 수도 있기 때문이다. 우선 게임이 폭력성에 미치는 영향력에 대해서 조사하기 위해서는 기준집단을 게임에 중독되었거나 중독될 위험이 있는 집단으로 삼는다. 그리고 게임중독자 혹은 중독될 위험이 있는 사람들 중 폭력범죄를 일으킨 사람의 수를 조사한다. 그런데 게임중독이나 가능성이 있는 사람의 수 중 폭력범죄를 일으킨 게임중독자의 수의 비율이 게임이 폭력범죄에 영향을 줄 수 있다는 것을 보장하는 것은 아니다. 정확한 관계를 파악하기 위해서는 게임 중독에 관련 없는 사람들 중 폭력범죄자의 비율도 파악해야 한다. 폭력이 게임에 미치는 영향력을 알아보는 것 또한 위에서 처럼 기준집단을 잡고 조사하면 된다.

논제 II 예시 답안
X재와 Y재의 생산량은 X?0, Y?0, 4X+5Y쬩200, 3X+10Y쬩300의 연립부등식을 만족해야 한다. 이 나라가 위의 연립부등식의 영역에서 X재만 생산하면 최대로 50을 생산할 수 있고 사회적 효용은 400이다. 그리고 Y재만 생산하면 최대로 30을 생산하고 사회적 효용으로 360의 효용을 가지게 된다. 그리고 이 나라가 두 재화를 함께 생산한다면 사회적 효용함수인 8X+12Y는 4X+5Y=200와 3X+10Y=300의 두 식이 교차하는 점 (X, Y)=(20,24)에서 최대가 되며 이때의 최대효용은 448이다. X와 Y 두 재화를 균형있게 생산함으로써 사회적 효용이 늘어나는 것이다.

인간의 생활수준은 경제적인 성장뿐만 아니라 환경보호도 중요하게 고려되어야 한다. 물질성장만을 추구하여 환경이 파괴되면 인간 삶의 기반이 위협을 받아 생활수준이 저하될 수 있다. 반면 환경가치만을 추구하면 사람들의 물질적 욕구가 충족되지 못하는 문제가 발생될 수 있다. 그러므로 생활수준을 높이기 위해서는 환경보호와 경제성장의 균형을 유지할 필요가 있다.




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