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<이광준의 수학의 달인> "새로운 수학 학습 모델을 찾자! 제6탄, 입체적 학습의 중요성"
[수학의 달인] 이광준의 수학비법
2016년 09월 29일 (목) 15:33:30

올해 평가원에서 치렀던 두 번의 수능 모의고사에서 화제는 국어 영역이다. 시험 문제의 유형도 많이 바뀌었고, 지문 길이도 길어졌다. 그래서 많은 수험생들이 다소 당황하는 기색이 역력하다. 대책이 필요한데, 오히려 이렇게 변화가 명확하면 대책을 세우기가 상대적으로 쉽다. 작년 수능 문제와 올해 평가원 6, 9월 모의고사 문제를 함께 펼쳐 놓고 변화된 부분을 구체적으로 비교·대조해 차이점을 정확하게 인식하면 충분히 해결이 가능하다.

물론 수학 영역도 이런 형태의 공부가 필요하다. 그런데 올해는 아직까지 딱히 국어 영역 수준의 큰 변화는 보이지 않는다. 다만 기존에 꾸준히 출제되었던 유형이 조금 까다로워지는 정도의 변화가 보인다. 이번 호에서 소개할 내용은 수학 학습에 있어서 입체적인 접근의 필요성에 대한 것이다. 올해 국어 영역 문제 유형의 변화에 대한 대처 방식이 '비교·대조'라는 컨셉이 있듯이 수학 학습에 있어서 필요한 컨셉인 '입체적 접근'에 대해서 구체적으로 살펴보도록 하자.

   
 

1. 20번 문제, 극댓값으로만 풀 수 없다.
수학의 특징이나 어려움을 정확하게 나타내는 표현이다. 이번 9월에 치렀던 평가원 모의고사 수학 영역(나형) 20번 문제를 풀기 위해서는 문제에서 주어진 '극댓값'에 관한 (가) 조건(개념) 하나만으로 절대 풀 수 없다. 물론 삼차함수라는 조건과 (나) 조건이 있으니 엄밀하게 하나의 조건으로 문제를 풀도록 내버려 두지는 않았다. 여기서 말하고자 하는 바는 20번 문제 자체만 봐도 여러 개의 조건이 주어져 있지만, 가령 하나의 조건만 표면적으로 주어진 경우조차도 그 조건만으로 문제가 풀리는 경우는 거의 없다. 그나마 하나의 조건(개념)으로 풀리는 문제도 개념을 확인하는 단순한 문제 연습에서 볼 수 있을 뿐 실제 치르는 시험에서는 볼 수 없다.

여기서 수학이 어려운 이유 중 하나를 알 수 있다. 수학 문제를 잘 풀기 위해서는 여러 개념을 정확히 이해하고 있어야 하고 그 개념을 해당 문제에 정확하게 적용시켜야 한다. 그런데 현실은, 여러 개의 개념을 빠짐없이 정확히 이해하고 기억하기가 쉽지 않고 막상 그렇다고 하더라도 문제에 해당 개념을 적용시키는 것은 또 다른 차원이다. 출제자가 문제를 보고 바로 개념을 적용시키게 내버려두지 않는 경우가 허다하다. 즉, 알고 있어도 문제에 그 개념을 적용시키지 못해서 눈만 멀뚱멀뚱 뜬 채 어찌할 바를 모르는 상황이 비일비재하다. 김소월 시인의 「길」의 한 구절이 떠오른다.

갈래갈래 갈린 길
길이라도
내게 바이 갈 길은 하나 없소.

2. 수학에 대한 입체적 학습 태도
입체적인 학습 태도는 수학 과목에만 해당하는 것은 아니다. 다른 과목도 입체적인 학습 태도가 필요하고 그렇게 하면 그 과목에 대한 이해도도 높아지고 심화 학습도 가능해진다. 그런데 수학의 경우에는 입체적인 학습 태도로 접근하지 않으면 원하는 결과를 절대로 얻을 수 없다. 

(1) 입체적 태도
입체적 태도는 '여러 측면 또는 여러 과정에서 대상을 바라보는 태도'라는 의미로 이해하면 된다.(여기서 '여러 측면', '여러 과정'이라는 표현 부분에 주목하자) 수학의 경우에 입체적 태도는, 어떤 문제에서 식이 조건으로 주어져 있으면 그래프나 도형으로 표현을 하거나 그 반대인 상황을 생각하면 된다. 문제에 도형(평면 또는 입체)만 덩그러니 놓여 있을 경우 그 도형을 평면좌표나 공간좌표로 옮겨서 생각해 보는 것도 구체적인 예라고 할 수 있다. 이 두 가지 예는 대상(식, 도형)을 여러 측면(그래프, 좌표)에서 바라보는 경우에 해당한다. 

여러 과정에서 대상을 바라보는 입체적 태도는 교과과정을 떠올려보면 쉽게 이해할 수 있다. 앞서 언급했던 <2017학년도 9월 평가원 모의고사 수학영역(나형) 20번> 문제의 경우, 조건 (나) f´(-3)=f´(-3) 는 미적분 I 과정에서 배운 우함수 개념이다. 그런데 우함수는 그래프로 표현하면 축 대칭에 해당하는데, '대칭'은 수학 I 도형의 방정식 단원 중 도형의 이동과 관련한 내용이다. 여기서 조건 (나)를 바라보는 태도에 있어 수학 I 과정의 도형의 이동, 미적분 I 과정의 우함수, 이런 관련 교과과정을 전체적으로 살펴보고 공부를 해야 하는 것이 대상을 여러 과정에서 살펴봐야 하는 입체적 태도의 한 예라고 볼 수 있다. 

(2) 입체적 태도의 실천
입체적 태도를 실천하기 위한 구체적인 방법은 여러 가지가 있어서 몇 가지 사례를 드는 것만으로 전체를 설명할 수는 없다. 여기서는 앞서 언급했던, 우함수(기함수 포함)에 관하여 어떻게 학습을 해야 하는지 살펴보자. 

1) 우함수(기함수) 관련 개념을 학습한 경우 또는 우함수(기함수) 개념이 포함된 문제를 풀이한 경우(틀린 경우까지 포함)
① 우함수(기함수) 개념을 처음 배우면 그 개념을 정확히 이해하고 추가적인 성질(축 대칭)이 있는 이전에 배웠던 단원(수학 I 도형의 방정식 단원 중 도형의 이동 중 '대칭')을 함께 정리한다.
② 우함수(기함수) 개념이 포한된 문제를 맞힌 경우에는 다시금 관련 개념을 정리하는 시간을 갖고 틀린 경우에는 ①의 과정을 따르면 된다.

2) 우함수(기함수) 관련 기출 문제의 정리 및 EBS 연계 교재 관련 문제 정리
① 우함수(기함수) 관련 기출 문제를(3개년 또는 5개년) 찾아서 한데 모으고 기출 유형을 구체적으로 분류한다.(같은 우함수(기함수) 개념 문제라도 문제에 따라 표현 형식을 비롯해서 여러 가지 다른 상황이 존재하므로 구체적인 분류가 필요함)
② EBS 연계 교재에서 관련 문제 찾아서 정리하기. 말 그대로 관련 문제를 찾아서 기출문제 유형을 분석한 것과 비교해 공통점과 차이점을 인식하면 된다.

수학은 그 구조나 학습 과정, 문제 풀이 과정 자체가 애초에 어렵기 때문에 수학이 어려운 것은 당연하다. 중요한 것은 그런 특징을 잘 인식하는 것과 그 특징에 맞게 본인의 학습 과정을 잘 계획하고 끈기 있게 실천하는 것이 중요하다. 수학은 입체적인 학습태도가 없이 공부한 만큼의 결과가 절대로 나오지 않음을 명심하기 바란다.

   
 

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