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"수학에서 개념 학습은 매번 재구조화 과정이 필요"
[수학의 달인] 이광준의 수학비법
2016년 05월 03일 (화) 16:21:39
   
 

처음 개념을 학습하고 문제풀이에 적용이 어느 정도 가능해지면 대부분은 개념학습을 추가적으로 하지 않는다. 문제를 풀 수 있으니 '나는 개념을 안다'고 생각하고 '더 이상 개념은 필요없다'는 판단을 하게 된다. 간혹 잊어버린 개념이 있어 다시 한 번 체크하는 정도가 전부라고 할 수 있다. 그런데 수학에서 개념학습은 일회성으로 끝나는 것이 아니라 매번 재구조화를 하는 과정이 반드시 필요하다.

1. 수학 학습의 내용 체계와 재구조화

   
 

위의 두 표는 수학 I, II 의 내용 체계를 나타낸다. 처음 고등학교 수학을 공부하면 특별한 상황이 아닌 한 위와 같은 순서로 공부를 하게 된다. 그런데 이러한 순서는 교육과정을 구성하는 과정에서 제시된 표준이 되는 하나의 학습 과정이다. 고등학교 수학을 처음 공부할 때, 이러한 구조로 시작하면 좋겠다는 모범 과정인 것이다.

하지만 고등학교 1학년 과정인 '수학 I, II'의 학습이 한 번 이루어진 상황에서 만약 다시 개념 학습을 한다면 위와 같은 구조로 다시 학습을 해야 할까? 천만의 말씀이다. 물론 개념 학습을 제대로 하지 않아서 다시 해야 한다면 모르지만 1차적으로 개념 학습이 이루어진 경우에는 문제가 달라진다.

그런데 이 부분에 대해서는 국가가 제시한 교육과정에 대한 내용을 살펴보면 구체적으로 나와 있지 않다. 그 부분은 순전히 선생님과 학생의 몫인 것이다. 2차적으로 이루어지는 개념 학습의 가이드라인이 제대로 제시되지 않은 상황에서 선생님 또는 학생이 주도적으로 2차 개념 학습 방향을 구성하지 않으면 안 되는 것이다. 여기서 2차 개념 학습 방향을 '재구조화'라는 표현으로 구체적으로 살펴보자.

2. 재구조화란 무엇인가?
앞서 제시된 표를 기준으로 수학 II 의 '함수 영역'에서 내용으로 '함수'와 '유리함수와 무리함수'를 학습할 때, 구체적으로 배우는 내용은 다음과 같다.(2009년 개정 교육과정 내용)

   
 

그런데 처음에는 단원별로 공부를 하다 보니 그 단원 하나 하나 이해하기 급급한 것이 현실이다. 그런데 실제 문제를 풀어보면 그 단원의 내용만 묻는 것이 아니고 심지어 관련 단원들이 한데 모여 있는 것이 아니라 여기저기 흩어져 있다. 뿐만 아니라 관련 개념들의 관계에 대한 설명도 부족한 상태에서 개념의 나열만 있는 경우도 있다. 함수와 관련된 단원을 예를 들어서 구체적으로 살펴보자.

① 이차함수는 수학 I 과정에 있고 대부분의 함수 관련 내용은 수학 II 과정에 있어 분리되어 있다.

② 수학 I 과정의 도형의 방정식 관련 내용(평면좌표, 직선의 방정식, 원의 방정식, 도형의 이동, 부등식의 영역)이 수학 II 과정의 함수 과정을 공부할 때 전면적으로 등장한다.

③ 이차함수, 일대일대응, 항등함수, 상수함수, 일대일함수, 합성함수, 역함수, 다항함수, 유리함수, 무리함수 등 다양한 함수들이 등장하는데 이 함수들은 어떤 관계를 맺고 있는지에 대한 내용이 부족하다.

위와 같은 구성의 문제점은 불가피한 부분이 있다. 그렇기 때문에 개념의 재구조화가 필요하다. 단원 간 분리되어 있지만 관련이 있으면 한데 모아서 정리하고 여러 개념들이 구조 없이 나열이 되어 있으면 특정한 기준을 중심으로 재배열해야 한다. 이차함수를 예로 들어보자. 수학 I, II의 학습이 끝나면 수학 I의 이차함수를 다음과 같이 재구조화해야 한다.

이차함수의 정의
- 정의역, 공역, 치역과 그 제한
- 일대일대응, 항등함수, 상수함수, 일대일함수, 합성함수, 역함수와 관련성

이차함수의 그래프
- 이차함수 그래프의 성질
- 이차방정식의 그래프 해석
- 이차부등식의 그래프 해석과 이차부등식의 영역

이차함수의 최대·최소
- 함수의 최대, 최소와 절대부등식을 이용한 최대, 최소의 비교

이차함수의 이동
- 평행이동(꼭짓점 좌표의 이동, 대칭축의 이동)
- 대칭이동과 특수한 경우(대칭이동을 해도 이동 전의 상태가 그대로 나타나는 경우)

이상은 하나의 예에 불과하다. 더 상세하고 구체적이고 추가적인 재구조화도 가능하다. 1차적으로 학습했던 개념들을 재구조화하지 않으면 개념들이 흩어져서 개념들 간의 관련성도 인식하지 못하고 이러한 문제점은 결국 문제를 풀지 못하거나 반만 풀 수밖에 없는 상황을 만들어낸다.

3. 재구조화를 하는 방법
재구조화의 필요성을 인식하게 되면 이제는 방법의 문제가 된다. 이 부분에서는 구체적으로 이런 방법이 있다고 제시하는 것보다는 문제를 활용하는 것이 중요하다. 보통은 문제를, 풀고 개념을 확인하는 용도로 사용하지만 재구조화를 하는 부분에서 문제는, 분석의 도구로 사용할 수 있다. 예를 들어 이차함수를 재구조화하고 싶으면 이차함수 관련 문제들의 풀이에 어떤 관련 개념들이 사용됐는지를 그 문제마다 정리를 하게 되면 그 정리된 자료를 통해 재구조화가 가능해진다. 이차함수는 원칙적으로 역함수가 존재하지 않는데 이례적으로 이차함수 단원 문제에서 역함수가 등장하는 경우가 있다. 이 경우에는 정의역의 범위를 제한하는 것이 불가피하다. 이런 문제를 보게 되면 다음과 같이 정리할 수 있다.

'이차함수와 역함수와의 관계'
- 원칙 : 역함수 부존재(역함수 정의 불만족)
- 예외 : 정의역 제한 시에 역함수 존재 가능(무리함수 형태가 등장)

이런 재구조화는 모의고사 기준으로 80점대에 머물러 있는 학생들에게는 반드시 필요한 과정이다. 단순히 수학 개념을 반복하고 문제풀이를 많이 한다고 성적이 오르지는 않는다. 성적이 오르기 위해서는 학습 단계마다 요구되는 구체적인 과정이 있음을 인식해야 한다.


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