“기출문제를 제대로 분석하고 정리하는 것이 중요하다”
“기출문제를 제대로 분석하고 정리하는 것이 중요하다”
  • 대학저널
  • 승인 2015.09.23 10:12
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[수학의 달인] 왜 수학 성적이 오르지 않는가? 제5탄 부정확한 개념 학습의 사례

이번에 치러진 2016학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학영역에서 오답률이 높은 문제를 보면 평소에 학생들이 개념 학습을 얼마나 부정확하게 하는지를 알 수 있다. 심지어 문제풀이 과정 중에 “이렇게 풀이가 전개되도록 출제하지는 않았을 거야”라는 착각에 빠져서 풀이를 중단해버린 학생도 있었으니 수학 문제를 대하는 태도 부분에도 적잖은 문제점들을 볼 수 있다. 이번 9월 모의평가 수학영역(A형) 21번 문제를 통해 학생들이 저지르는 부정확한 개념 학습의 문제점과 잘못된 문제풀이 태도에 대해 구체적으로 살펴보자.

1. 첫 번째 난관 : 어느 단원 문제인가?
 

대부분의 학생들은 21번 문항이 무엇을 묻는지조차 알지 못했다는 사실이다. 여기서 수험생들이 기출문제를 대하는 잘못된 태도를 알 수 있다. 기출된 문제를 제대로 ‘분석’했다면 21번 문항은 대체적으로 미분 관련 문제를 꾸준히 출제했음을 알 수 있다. 당연히 이번 21번 문항 역시 문제 자체를 보더라도 미분 관련 문제임을 알 수 있다. 대신에 출제자들은 구체적으로 미분 단원의 어떤 개념을 묻고자 하는지를 부등식을 통해 숨겨놓고 있을 뿐이다.

대부분의 수험생들이 기출 문제를 습관적으로 풀 뿐, 분석을 하지않고 있으며 그 결과 비슷한 유형이 반복 출제되어도 맞추지 못하는 상황이 발생하게 된다. 기출문제가 존재하고 또 그것이 공개가 된다면 분석이 가능하고 이를 바탕으로 최근의 출제경향을 가늠할 수 있고 앞으로 치를 시험의 방향을 예측해 볼 수 있다. 하지만 이런 부분을 진지하게 고민해 보기보다는 한 문제를 더 풀기 바쁜 것이 대부분의 수험생의 현실인 것 같다. 3년간 기출된 수학영역 문제만 제대로 풀고 분석, 정리만 해도 지금의 수능 난이도를 봤을 때 2등급은 무난히 받을 수 있다.

21번 문항을 문제의 부등식 대신에 ‘함수 f(t)의 모든 극점의 t좌표 값의 합은?’이라고 바꾼다면 어떻게 될까? 대부분의 수험생들은 ‘아, 이 문제는 극대와 극소에 관한 문제구나’라고 생각하고 문제 풀이 방향을 극대와 극소에 관한 개념으로 고민을 하게 된다.

그만큼 수학 문제에서 해당 문제가 어느 단원 문제인지를 아는 것은 중요한데, 대부분의 수험생들은 이 과정을 소홀히 하거나 간과한다. 출제자들의 고난도 문항 출제의 한 유형이 바로 해당 문항의 ‘출제 단원을 숨기고 간접적으로 조건을 제시’하는 것인데도 말이다.

2. 두 번째 난관 : f(t)를 어떻게 표현할 것인가?
문제에서 살펴보면 ‘점 A와 점 B 사이의 거리를 f(t)라 하자.’라는 부분이 있다. 이 부분을 어떻게 표현해야 할지 모르는 경우가 있다. ‘거리’를 보고 단순히 점과 점 사이의 거리 공식을 생각했던 학생들도 있을 텐데 문제풀이에 맞지 않는 개념이다. f(t)를 나타내는 정확한 표현은 절댓값을 이용해야 한다.

실수 t에 대하여 직선 x=t가 두 함수 y=x4-4x3+10x-30, y=2x+2의 그래프와 만나는 점을 각각 A, B라 할 때, 점 A와 점 B 사이의 거리를 f(t)라 하자.

위에서 알 수 있듯이 f(t)는 4차 함수 그래프와 일차 함수 그래프 사이의 거리를 나타낸다. 따라서 두 그래프 사이의 거리는 f(t)=|(t4-4t3+10t-30)-(2t+2)|가 된다. 미분과 관련한 문제에서 절댓값을 포함한 그래프나 함수가 종종 등장하는데, 이것은 이유가 있다. 평소에 고민을 많이 했던 학생들은 이미 알고 있겠지만, 수학영역(A형)의 미분 문제는 모두 다항함수를 전제로 하고 있다. 다항함수에서 미분이 불가능한 점을 예로 들 수 있는 경우는 절댓값을 포함한 함수가 거의 유일하다. 기출된 문제들을 살펴보면, 출제자는 두 가지 상황을 전제하고 출제를 한 것을 알 수 있다.(미분 관련 문제를 한 번 살펴보면 확인할 수 있을 것이다.) 노골적으로 절댓값을 포함한 그래프나 함수를 제시하거나 아니면 절댓값을 포함한 함수나 그래프를 수험생이 스스로 생각할 수 있게 하거나.

3. 세 번째 난관 :

의 의 미는?
문제에서 이 부등식 부분을 제대로 이해하는 것이 가장 핵심적인 부분이다. 이 부분은 함수 f(t)의 우미분계수와 좌미분계수의 곱을 나타내는 표현이다. 구체적으로는

를 나타낸다.

①은 우미분계수와 좌미분계수가 일치하지 않는 경우(미분불능)를 의미하고 ②는 미분계수가 0인 경우를 의미한다. 위에서 언급한 절댓값을 포함한 함수 f(t)의 그래프를 그려보면 총 4개의 극점이 등장하는데, 그 점을 나타내는 것이 바로 ①과 ②의 경우인 것이다. 대부분의 학생들이 극대와 극소를 알고 있을 텐데, ‘제대로’ 알고 있는지는 의문이 드는 대목이다. 지금까지 기출문제를 살펴보면 극대와 극소 표현을 문제에 노골적으로 표현한 경우가 있는가 하면 문제 풀이 과정에서 찾아야 하는 경우도 있었다. 이에 대한 분석이 되어 있지 않았다면 이번 21번 문항은 풀기가 어려울 수밖에 없다.

4. 개념을 제대로 알고 있는가?
이번에 출제된 21번 문항은, 출제자가 극대와 극소를 제대로 알고 있는지 묻고자 한 문제다. 그런데 시험을 치른 학생들에게 극대와 극소 개념을 물으니 얼버무리는 경우가 허다했다. 특히, 극대와 극소 개념은 원칙적으로 미분과는 무관한 개념(증가와 감소로 정의가 되는 개념이다)인데도 이 사실을 모르는 학생도 있었다. 미분이 불가능한 점이 극대와 극소가 될 수 있다는 사실 자체를 모른다는 것이다. 그만큼 개념 학습이 부정확하고 실제 문제에서 개념을 정확하게 파악하거나 적용시키는 경우가 드물다는 것이다.

수학 문제를 많이 푸는 것도 중요하지만, 개념 학습을 제대로 하고 그 개념을 기출문제를 통해 제대로 확인하고 적용하는 것이 더 중요하다. 수능을 목전에 둔 시점에서 다시 한 번 강조하고 싶은 것은 기출문제를 제대로 분석하고 정리해야 한다는 사실이다. 그 가운데서 여러분들이 배운 개념들이 어떻게 문제에 표현되고 또 적용되는지를 정확하게 확인하는 과정이 필요하다.


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