“잘못된 방법으로는 절대 좋은 결과를 가져올 수 없다”
“잘못된 방법으로는 절대 좋은 결과를 가져올 수 없다”
  • 대학저널
  • 승인 2015.05.29 15:35
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[수학의 달인] 왜 수학 성적이 오르지 않는가? 제3탄 정리 없는 수학 공부

최근 고등학교에 갓 입학한 두 남학생의 수학 학습을 도울 일이 있었다. 두 남학생은 지난 겨울 방학 동안 나름 고등학교 수학을 준비하고, 부푼 기대를 안고 4월 중간고사를 기다렸다. 학교 부교재도 열심히 풀고 틀린 문제는 별표를 쳐서 다시금 풀어보면서 실수를 하지 않으려고 단단히 준비를 했다. 그런데 중간고사 결과는 둘 다 비참했다. 수학 공부를 열심히 했는데 도대체 왜 이런 결과가 나온 것일까?

1. 수학공부, 열심히만 하면 된다?
다른 공부도 그렇지만 수학도 열심히 하면 성적이 잘나올 것 같은 생각을 한다. 우선 이런 생각은 두 가지 측면에서 잘못된 생각일 수 있다. 첫 번째는 김빠지는 얘기이지만, 과정을 열심히 준비했어도 결과는 우연적인 요소에 의해 좋지 않을 수 있다는 것이다. 과정에서 큰 문제가 없다고 하더라도 결과가 나오는 상황에서 그날의 컨디션이나 기타 상황에 따라 결과가 나빠질 수 있다. 시험 치는 아침에 먹었던 음식이 문제가 돼 탈이 나서 시험에 집중을 못하거나 너무나 긴장한 나머지 밤잠을 설쳐서 비몽사몽하면서 시험을 치다가 망칠 수도 있다.

그러나 더욱 문제가 되는 것은 준비하는 과정이 제대로 진행되지 못해 결과가 나쁘게 나오는 것이다. 우선 ‘시간’의 문제를 살펴보자. 중학교 때보다 더 많은 시간을 공부하면 된다는 식의 막연한 생각이 문제가 된다. 그런데 막상 공부한 시간을 살펴보면 늘어나긴 해도 고등학교 수학을 소화할 정도로 많이 늘어나지 않았다는 사실이다. 그 다음은 ‘방법’의 문제이다.

대부분 중학교 때 공부하던 방식으로 고등학교 수학을 공부한다. 중학교 수학은 그 양이나 난이도 측면에서 그렇게 힘들지는 않다. 물론 어느 수준으로 공부하느냐에 따라 달라질 수 있지만 일반적으로는 부대끼는 정도는 아니다. 하지만 고등학교 수학은 더 이상 중학교 수준의 강도가 아니다. 이런 점에 대한 인식이 없이 막연히 고등학교 수학 공부를 빨리 시작하고 많이 하면 된다는 식의 생각으로 공부를 하면 반드시 문제가 발생하게 된다.

앞서 언급됐던 두 남학생도 막연히 열심히 하면 된다는 식으로 고등학교 수학을 준비하다가 그 양과 난이도에 좌절을 겪었다. 뿐만 아니라 어떤 전략이나 계획 없이 무턱대고 열심히 문제만 풀다가 낭패를 맛본 것이다. 열심히 한다고 수학 성적이 좋은 것은 절대 아니다.

2. 문제만 풀 수 있다면 개념정리는 필요 없다?
결론부터 말하면 개념정리 없는 단순한 문제풀이는 기억력 테스트일 뿐이다.

두 남학생에게 ‘이 문제는 어떤 문제냐?’라는 질문을 했더니 둘 다 눈만 멀뚱멀뚱 거릴 뿐, 꿀 먹은 벙어리처럼 앉아 있다. 우선 표현을 할 수 없다는 것은 개념을 제대로 알고 있지 못하다는 것이다. 이는 곧 이 문제를 왜 출제했는지 정확히 모른다는 것과 같은 의미다. 또한 이문제를 만약 풀었다면 풀이 방법이 기억났던 것이고 풀지 못했다면 풀이 방법을 잊었던 것이다.

개념이 제대로 정리가 되지 않은 상태에서 단순히 문제 풀이방법의 기억에만 의존했던 이 두 남학생에게, 중간고사 수학 성적이 가혹했던 것은 어쩌면 당연한 결과일지도 모른다. 비단 이 두 남학생의 문제가 아니고 대부분의 고등학교 1학년 첫 중간고사를 쳤던 학생들에게 해당하는 사실이다. 성적이 좋았던 친구들 중에는 풀이방법을 용케 많이 기억해서 성적이 좋았던 경우도 있으니 주의해야 한다. 1학기 기말고사에서는 더 이상 그런 행운이 주어지지 않을 수도 있다.

앞서 언급했던 문제에 대한 질문을 받으면 당연히 ‘정수 조건의 부정방정식 문제입니다’라고 대답을 해야 한다. 이런 표현을 할 수 있다는 것은 개념정리가 제대로 됐다는 사실이고 동시에 이 문제를 왜 출제한지와 어떻게 풀어야 하는지를 알고 있는 것이다. ‘정수 조건의 부정방정식 문제입니다’라는 대답을 풀어서 이해하면 다음과 같다.

미지수의 개수보다 식의 개수가 작은 부정방정식 문제는, 인수분해 방법 등을 이용한 평범한 방정식 풀이 해법과는 다르고 주어진 정수조건을 이용해서 식을 만족시키는 해의 집합을 구해야 한다. 이처럼 개념이 제대로 서 있어야 어떤 유형의 문제도 풀 수 있지 풀이 방법의 기억에만 의존한다면 결과는 복불복이 될 뿐이다. 두 남학생에게 앞으로 수학 공부할 때 필요한 부분이 무엇인지 여러분들은 짐작이 갈 것이다. 수학 학습에서 문제풀이 연습이 절대로 그 본질적인 해법이 아니다. 개념을 소홀히 해 어떤 문제를 봤을 때 개념을 이용, 표현할 수 없다면 아무 소용이 없다. 고등학교 수학은 더더욱 그렇다.

3. 중간고사 시험은 이미 지나간 일?
수학 시험 전에도 개념과 풀었던 문제를 정리하고 시험에 임해야 하지만, 시험이 끝난 후에도 정리를 해야 한다. 보통은 오답정리라고 하는데, 단순히 오답정리만 하면 되는 문제는 아니다. 오답이 발생한 직접적인 원인을 찾는 것도 중요하다. 몰랐거나 애매했던 개념을 다시 정리하고 틀린 문제만의 특징이 있으면 그 특징을 분석하고 정리하는 과정이 필요하다. 하지만 그보다 더 중요한 것은 시험을 준비하는 자신의 학습 태도에 대한 반성이 중요하다. 그런 의미에서 중간고사든 어떤 시험이 끝나면 그 준비과정에 대한 리뷰(review)가 필요하다. 특히, 기말고사 때 중간고사 범위가 누적되는 형태로 시험이 출제되면 더더욱 필요한 과정이다.

구체적인 과정을 살펴보면, 첫 번째는 중간고사에 쳤던 문제를 다시 한 번 시간을 정해서 풀이하는 것이다. 물론 다시 보기 싫겠지만, 다음 시험을 위해서는 반드시 거쳐야 한다. 시험을 치른 후 채점을 해서 중간고사 때와 비교를 해 본다. 만약 점수가 올랐다면 분명히 중간고사 때 긴장감을 비롯한 환경적 요인 때문에 점수가 안 나왔을 가능성이 있다. 이 부분은 다행일 수도 있고 불행일 수도 있다. 만약 시험울렁증이 원인이라면 쉽사리 고쳐지지 않을 수 있다. 이 부분은 학습으로만 해결되는 부분이 아니라 개인적인 성향이 원인인 경우가 많다. 심지어 부모님 중에 한 분이라도 예민한 성격이라면 더더욱 상황은 심각해질 수 있다. 성향은 물려받기도 하지만 주변 환경에서 학습되기도 하기 때문이다. 이런 부분을 절대로 간과해서는 안 된다.

5년 전에 삼수를 하는 여학생을 상담했던 적이 있었다. 그 여학생은 실력이 충분한데도 시험울렁증으로 말미암아 삼수까지 하게 됐고, 심지어 삼수 결과도 그 여학생의 실력에는 못 미쳤다. 반면에 같은 해에 시험 쳤던 그 여학생의 여동생은 시험울렁증은 커녕 정리를 못한 부분이 너무 많아서 큰일이라며 호들갑을 떨 정도로 명랑하고 쾌활한 성격이었다. 그 여동생은 연세대 경영학과에 합격했다. 시험에서 성향은 너무나 중요하다. 시험에 부정적인 성향은 시험을 치면서 계속 긍정적으로 바꾸는 노력이 필요하다. 구체적인 예는 다음에 살펴보도록 하자.

두 번째는 주변에서 피드백을 받는 것이다. 시험 준비를 잘하는 친구나 선배, 준비에 비해 결과가 잘 나오는 친구나 선배에게 자신을 피드백 받아 보는 것이 중요하다. 스스로 문제점을 파악하는 것은 힘들지만 주변의 도움을 받으면 의외로 문제의 원인을 쉽게 찾을 수 있다. 원인을 찾으면 그에 대한 구체적인 해결책을 찾는 것은 크게 어렵지 않다. 물론 선생님에게 조언을 구할 수도 있다. 부끄러움이나 자존심은 접어두고 주변에 조언을 구하는 노력을 하자. 정말 자존심 상하고 부끄러운 일은 나아지지 않은 수학 실력과 그로 인해 자신이 원하는 꿈을 이루지 못하는 것이다.

정리는 중요하다. 정리를 하는 과정에서 문제점을 발견할 수 있고 다음 시험에 잘 대비할 수 있다. 잘못된 방법은 절대로 좋은 결과를 가져올 수 없다. 특히, 잘못된 방법으로 열심히 하는 것만큼 비극적인 일도 없음을 명심하도록 하자.


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