제5탄-2 HOW : 수학, 이론과 문제 어떻게 공부할 것인가?
제5탄-2 HOW : 수학, 이론과 문제 어떻게 공부할 것인가?
  • 대학저널
  • 승인 2014.09.04 14:00
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6하 원칙과 수학이 만나다!!

6하 원칙(5W1H)-누가, 언제, 어디서, 무엇을, 어떻게, 왜-은 보통 글을 읽을 때 주목해야 할 기준이지만'수학'도 6하 원칙을 통해서 바라볼 수 있다.

지금부터 6하 원칙을 통해서“왜 수학이 어렵지?”,“왜 수학을 못하지?”에 대한 궁금증을 살펴보자.
지난 칼럼에서는 “이론과 문제의 학습”중‘이론 학습은 어떻게 할 지’를 살펴보았는데, 이번엔‘문제 학습’은 어떻게 해야 하는지 살펴보도록 하자.

1. 수학 문제, 그 정체를 살펴보자.
국어, 영어, 수학 등 각 과목별로 다양한 형태의 문제가 존재한다. 그런데 습관적으로 문제를 풀다 보니 단순히 문제를 풀어야 하는 것이라고 생각하는 경우가 많은 것 같다. 국어와 수학 문제를 동시에 푸는 경우가 거의 없어서 두 과목의 문제를 비교해 볼 기회가 거의 없는 것이 사실이다. 하지만‘국어’문제,‘수학’문제,‘영어’문제처럼 각 과목별로 문제가 가지는 특별한 형태를 살펴볼 필요가 있다. 국어 문제와 수학 문제를 비교해 보고 어떤 차이점이 있는지 분석해 보자.

<2015학년도 평가원모의고사(6월) 국어 A형 19번>

19. 윗글의 ㉠과 <보기>의 ㉡의 입장을 비교하여 설명한 것으로 적절하지 않은 것은?

<보 기>

㉡ 한 편의 영화를 제대로 평가하기 위해서는 영화와 관련된 여러 요소를 모두 고려해야 한다. 예컨대 제작에 참여하는 인력들의 역량이나 예산 같은 제작 여건을 고려해야 한다. 또한 영화의 표현 가능성을 확장시킨 기술의 발달 등도 간과할 수 없는 요인이다. 이런 점에서 감독은 영화의 일부일 뿐이다.

① ㉠은 ㉡보다 감독의 주체 의식을 중시한다.
② ㉠은 ㉡보다 감독의 표현 기법의 일관성을 중시한다.
③ ㉠은 ㉡보다 영화 창작 과정에서 감독의 권한을 중시한다.
④ ㉡은 ㉠에 비해 영화 제작 과정에서 경제적 여건과 기술적 조건을 중시한다.
⑤ ㉡은 ㉠에 비해 감독의 역량을 영화 제작에 참여하는 인력들의 역량보다 중시한다.

<2015학년도 평가원모의고사(6월) 수학 A형 21번>

21. 최고차항의 계수가 1인 두 삼차함수가 다음 조건을 만족시킨다.

x의 값은?[4점]
① 4 ② 6 ③ 8 ④ 10 ⑤ 12

2. 수학 문제의 특수성


① 기호
국어 문제와 달리 수학 문제는 기호의 사용이 상대적으로 많은 편이다. 그런데 수학에서 사용하는 기호는 국어 문제의 ‘㉠은 ㉡보다’와 같이 단순한 기호가 아니다. 가령

에서

와 같이 수학적인 의미를 갖고 있는 기호가 대부분이다. 따라서 수학 문제를 볼 때는 기호를 정확하게 파악하고 기호에 표시된 세부적인 정보, 예를 들어

에서 ‘x→n’과 같은 부분을 주의해서 살펴야 한다. 간혹 계산과정 중‘x→-n’에서 마이너스 부호를 빠트려서 틀리는 경우를 볼 수 있다.

② 용어
국어 문제의 경우 어휘능력은 문제풀이에 있어 중요한 역할을 한다. 특히 한자어의 경우에는 기본적인 한자실력이 부족하면 문제에서 낯선 한자어를 접했을 때, 의미를 추론하기가 어렵다. 이에 반해 수학문제의 경우 어휘능력 자체가 직접 문제가 되는 경우는 드물다. 하지만 수학 문제의 경우 수학 자체 용어가 가지는 의미는 정확하게 파악하고 있어야 한다. 가령 ‘일대일대응’이라는 용어가 등장하면 그 의미를 정확하게 알아야 한다. 최근에 경험한 사례인데 함수에서 ‘일대일 대응’의 의미를 물어보니 “x값 하나에 y값 하나가 대응하는 거죠”라고 대답한 학생이 있었다. 언뜻 보기에 “뭐가 잘못 됐지?”라고 생각하는 학생도 있을 것이다. ‘일대일대응’의 정의는 다음과 같다.

‘함수 f(x)에서 x1≠x2이면 f(x1)≠f(x2)이고 치역과 공역이 일치하는 함수’

위 학생이 실수한 점은 다음과 같다. 우선 일대일대응의 정의를 수학 정의에서 기억하고 있는 것이 아니라 국어의 의미 차원에서 기억을 하고 있다. 의미는 통하지만 문제풀이나 추가적인 정보를 파악하는 데는 무의미하다.

여기서 조금 더 나아간다면 도대체 어떤 수학적인 의미를 찾을 수 있을까?(이 부분이 수학 용어가 국어 용어와 차이가 나는 부분이라고 할 수도 있다.) 눈치 챈 친구들이 있을 텐데 다음과 같은 추가 개념을 더 이끌어 낼 수 있다. 우선 어떤 함수가 일대일대응이면 그 함수는 역함수가 존재하게 된다. 뿐만 아니라 그 함수는 증가함수이거나 감소함수의 형태를 띠게 되고 이는 미분을 이용해 확인할 수도 있다. 이렇듯 수학 문제에서 사용하는 용어는 국어 문제에서 사용하는 용어와 달리 정확한 의미 파악이 필요하고 다른 개념과 밀접한 관련성을 띠는 경우가 많다.

③ 정보
앞에서 언급했던 국어 문제와 수학 문제의 선택지를 살펴보자. <2015학년도 평가원모의고사(6월) 국어 A형 19번>문제의 선택지‘① ㉠은 ㉡보다 감독의 주체 의식을 중시한다.’에서는 문제 해결의 정보를 얻을 수 있다. ‘감독의 주체 의식’이라는 측면에서 ㉠과 ㉡을 비교하면 된다. 이에 반해 <2015학년도 평가원모의고사(6월) 수학 A형 21번>의 선택지 ‘①’에서는 문제풀이에 직접적으로 필요한 정보를 얻기가 힘들다. 다른 선택지를 통해 기껏해야 답이 자연수이며‘2’ 간격으로 선택지를 구성하고 있다는 사실일 뿐이다. 물론 국어문제에서도 이러한 경우가 있기는 하지만 그렇게 많지는 않다. 이렇듯 국어 문제와 수학 문제는 단순히 ‘국어’, ‘수학’이라는 측면 이외에도 적잖은 차이가 있다.

3. 수학 문제, 제대로 이해하기
수학 문제를 정확하게 이해하기 위해서는 우선 문제 자체를 하나도 빠짐없이 써보기를 권한다. 문항 번호부터 시작해서 마지막 선택지까지 한 번 써보면 분명히 단순히 볼 때와는 다른 느낌을 가질 수 있을 것이다. 그리고 조금 더힘을 낸다면 문제를 읽어서 녹음해 보기 바란다. 물론 이것은 텍스트를 보지 않고 들으면서 떠올릴 수 있는 좋은 자료가 되기도 하는데 쓸 때와는 또 다른 느낌이 든다. 최종적으로 완벽한 수학 문제에서 주어진 ‘조건’을 변형해보자. 변형의 유형에는 여러 가지가 있을 것이다. 우선 ‘조건’을 의도적으로 빼버리기, 동일한 의미의 다른 ‘조건’으로 바꾸기, ‘조건’의 순서 바꾸기, 박스 안에 있는‘조건’을 문제 안으로 위치 바꾸기 등 다양한 시도를해볼 수 있다.

수학이 어려운 이유는 문제 자체를 보지 못하고 단순히 문제를 풀기 위해 아등바등하기 때문이다. 문제를 제대로 알아야 문제를 풀 수 있는 것이다.


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