제5탄 HOW : 수학, 이론과 문제 어떻게 공부할 것인가?
제5탄 HOW : 수학, 이론과 문제 어떻게 공부할 것인가?
  • 대학저널
  • 승인 2014.06.26 14:14
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수학의 달인

6하 원칙(5W1H) -누가, 언제, 어디서, 무엇을, 어떻게, 왜-는 보통 글을 읽을 때 주목해야 할 기준이지만 ‘수학’도 6하 원칙을 통해서 바라볼 수 있다. 지금부터 6하 원칙을 통해 “왜 수학이 어렵지?”, “왜 수학을 못하지?”에 대한 궁금증을 살펴보자. 지난번에 이어 “이론과 문제의 학습”은 어떻게 할지 살펴보자.

1. 이론, 넌 누구냐?

수학에서 다루는 ‘이론’은 여러 가지 명칭으로 불린다. ‘공식’, ‘개념’ 등 그 명칭이 다양한데 ‘이론’은 선생님에게는 가르쳐야 하는 대상이고, 학생에게는 공부해야 할 대상이다. 그런데 이 ‘이론’에 대해서 그 성격이나 특성을 명확하게 인식하지 않고서 가르치고 공부하는 경우가 많은 듯하다. 수학에서 ‘이론’은 어떤 대상을 다루기 위해 그 대상에 관한 ‘정의’를 비롯해서 ‘공식·법칙·성질·정리’를 구조화해 놓은 것이다. 예를 들어, 『행렬과 그래프』를 다루기 위해서 행렬의 정의, 행렬의 곱셈의 정의, 역행렬의 정의, 그래프의 정의 등을 언급하고 이를 바탕으로 행렬 곱셈의 성질, 영인자의 성질, 케일리 해밀턴 정리 등을 이어서 논의하게 된다.

자세히 살펴보면 알겠지만 이론은 제각기 ‘이름’을 갖고 있다. 그 대상을 부르는 이름은 반드시 그 대상의 성질을 잘 표현하고 있다. 그렇기 때문에 특정한 이론을 나타내는 ‘이름’ 또는 ‘용어’는 정확하게 의미를 이해하고 또 기억할 필요가 있다. 예전에 웃지 못할 민망한 경우가 있었는데, 수학을 꽤 잘하는 친구가 등차중‘항’을 등차중‘앙’이라고 부르고 또 쓰는 것을 본 적이 있다. ‘웃프다(웃기지만 슬프다)’라는 표현이 너무나 적합한 상황이었다. 김춘수 시인의 유명한 시인 ‘꽃’의 앞 두 연을 살펴보자.

내가 그의 이름을 불러 주기 전에는
그는 다만 하나의 몸짓에 지나지 않았다.
내가 그의 이름을 불러 주었을 때
그는 나에게로 와서
꽃이 되었다.

그냥 ‘이름을 불러 주기’가 아니라 ‘제대로’ 이름을 불러 주기가 중요하다. 여러분들이 배우는 수학 이론에서 어떤 이론의 이름이나 명칭을 제대로 이해하고 또 사용하는 것에 대해 엄격한 태도를 갖길 바란다. 이름이나 명칭 속에 그 이론의 핵심이 거의 드러나 있다고 해도 지나치지가 않다.

2. 문제, 넌 누구냐?

이론과 문제에 대한 학습법을 얘기하는데, 계속해서 이론과 문제의 의미와 특성에 대한 내용들이 이어진다. 이 부분을 의아해할 수도 있는데, 이론과 문제가 무엇인지 알아야 비로소 이 둘을 어떻게 대하고 다뤄야 할지를 구체적으로 알 수 있게 된다. 문제는 그 자체가 목적적이기보다는 수단적인 성격이 강하다. 이론적용 능력, 문제 해석 능력 등 ‘테스트’, 즉 시험용으로 이용되는 것이 문제의 운명이라고 할 수 있다. 출제자는 열심히 문제를 만들고 수험생은 끙끙대며 풀어야 하는 것이 문제다. 이론은 학습을 해야하는 대상이지만 문제는 풀어야 하는 대상이다. 여기에서 문제의 본질을 알 수 있으면서 동시에 함정에 빠질 수도 있다. 이 부분은 이하 문제도 학습을 해야 한다는 내용에서 자세히 살펴보도록 하자.

3. 이론을 학습하다.

보통 교과서를 비롯한 갖가지 이론서와 학교 선생님, 인터넷 강사 선생님 등 여러 선생님을 통해 ‘이론을 학습’한다. 간혹 독학을 하는 경우도 있지만 일반적이지도 않고 순수하게 독학을 하는 경우도 매우 드물다.
이론 학습이라고 하면 대부분의 수험생들은 당장 ‘공식’을 떠올린다. 암기를 해서 문제를 당장 풀 수 있는 공식에 집착한다. 여기서부터 비극이 시작된다. 이런 비극은 초등학교 때, 산수와 수학을 공부하면서 원치 않았지만 길러진 습관이라고 할 수 있다. 가령, 초등학생 에게 사칙연산을 설명하라고 하면 말 그대로 수를 ‘더하고, 빼고, 곱하고, 나눌’ 뿐이다. ‘연산’이 도대체 무엇이고 왜 필요한지에 대해서 전혀 알지를 못한다.(물론 가르치는 선생님들에게 문제가 있을 수도 있다.) 이렇게 잘못 시작된 사칙연산에 대한 개념은 ‘로그’가 덧셈과 뺄셈만 가능한 수 체계이고, ‘지수’가 곱셈과 나눗셈만 가능한 수 체계란 당연한 사실을 깨닫지 못하게 만든다. 심지어 ‘평균’이 사칙연산이 모두 개입되는 종합선물세트인지조차 모르게 된다.(평균을 구하는 방법을 떠올리면 어떤 의미인지 알 수 있을 것이다. 이론을 학습하는 구체적인 방법을 살펴보자.

① 정의는 무조건 쪼개고 외운다.

행렬의 정의 : 수량을 나타내는 여러 개의 수나 문자를 행과 열에 따라 ⓐ잘 배열하여 행렬로 표현하면, ⓑ행렬 간의 덧셈·뺄셈·곱셈 등의 연산을 통해 원하는 결과를 쉽게 얻을 수 있다. 대부분의 학생들은 행렬의 정의를 외우지 않는다. 그런데 정의를 가만히 보면 문제를 낼 수 있는 단서를 찾을 수 있고 다른 이론들을 이해할 수 있는 근거를 찾을 수 있다. ‘ⓐ잘 배열하여 행렬로 표현’ 부분을 통해 ‘행렬로 표현’을 직접적으로 해야 하는 문제 유형을 추측할 수 있다. ‘ⓑ행렬 간의 덧셈·뺄셈·곱셈 등의 연산을 통해 원하는 결과’라는 부분을 통해서 다음과 같은 구체적인 이론을 확인할 수 있다. 분수함수를 행렬로 표현하면 역행렬의 정의를 통해 분수함수의 역함수를 쉽게 구할 수 있다. 뿐만 아니라 이원일차연립방정식을 행렬로 표현하면 제한적으로(역행렬이 존재하는 경우) 역행렬을 이용해 해를 구할 수 있다. 또한 행렬을 통해 변환을 이해할 수 있고 삼각함수의 덧셈정리도 행렬을 이용, 증명할 수도 있다.

② ‘식’은 해석하고 변형한다.

이론이 텍스트로 서술돼 있는 경우(앞서 설명한 행렬의 정의)도 있지만 ‘식’의 형태로 존재하는 경우도 있다. ‘식’의 형태로 존재하는 이론은 반드시 해석하고 변형하면서 이해해야 한다.

보통 등차수열의 합 공식은 다음과 같이 두 가지 형태로 소개한다.

 첫 번째는 초항과 끝항을 알 경우에 적용하고 두 번째는 초항과 공차를 알 때 사용하는 공식이다.(공식은 이런 해석이 기본적으로 필요하다.)
그런데 두 번째 식은 n에 관한 이차식으로 변형할 수 있음을 알 수 있다.(식 변형을 통해 다른 형태로 합 공식을 유도할 수 있다.) 위의 상수항이 없는 n에 관한 이차식은 문제에서 다음과 같이 자주 표현된다. 수열 {an}의 첫째항부터 n항까지의 합 Sn이 Sn=2n2-3n 이라고 할 때 ~ 눈치가 빠른 친구들은 수열 {an}이 단번에 ‘등차수열’임을 알 수 있다. 굳이 Sn-Sn-1=an(n≥2)을 통하지 않고서도 등차수열이라는 사실을 바로 인식할 수 있는 것이다.

③ 이론으로 목차를 만든다.

낱낱이 쪼개져 있는 이론을 한데 모으는 과정이 필요하다. 보통 목차라고 부르는데 모든 단원의 이론을 목차로 정리해서 흰 색 큰 전지에 정리할 필요가 있다. 전체 이론을 한 눈에 볼 수 있고 여러 개의 개념이 서로 묶여(흔히 통합이라고 표현한다)질 수 있는 가능성도 느낄 수 있게 된다.(보통 여러 개의 개념이 통합돼 문제화가 되면 수능에서는 4점의 고배점 문항으로 등장한다.) 목차를 정리하는 예를 들면 다음과 같다.

<등차수열>      
1. 등차수열의 정의    
2. 등차수열의 일반항  
3. 등차중항          
4. 등차수열의 합 공식 
5. Sn과 an사이의 관계

<등비수열>
1. 등비수열의 정의
2. 등비수열의 일반항
3. 등비중항
4. 등비수열의 합 공식
5. 등비수열의 활용(원리합계와 상황)

다음 호에서는 문제를 ‘학습’하는 방법에 대해 살펴보도록 하자.


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