제4탄 WHAT: 수학, 문제에서 무엇을 볼 것인가?
제4탄 WHAT: 수학, 문제에서 무엇을 볼 것인가?
  • 대학저널
  • 승인 2014.06.03 15:49
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6하 원칙과 수학이 만나다!!

6하 원칙(5W1H) -누가, 언제, 어디서, 무엇을, 어떻게, 왜-는 보통 글을 읽을 때 주목해야 할 기준이지만 ‘수학’도 6하 원칙을 통해서 바라볼 수 있다. 지금부터 6하 원칙을 통해 “왜 수학이 어렵지?”, “왜 수학을 못하지?”에 대한 궁금증을 살펴보자. 지난번에 이어 “문제에서 봐야 하는 것”은 무엇인지 살펴보자.

1. 개념과 문제 사이

꽤 오래전 영화인데 ‘냉정과 열정사이’라는 영화가 있었다. 이탈리아의 아름다운 배경을 바탕으로 아무리 간절해도 이뤄질 수 없는 슬픈 사랑이 있음을 보여주는 영화로 기억한다. 여러분들이 수학 시험에서 아무리 고득점을 원해도 쉽사리 다가갈 수 없는 현실과 묘하게 비슷한 느낌이다.

냉정과 열정 사이에서 사랑을 찾아 헤매듯이, 개념과 문제 사이에서 정답을 찾아 헤매야 하는 현실은 지금 이 순간에도 고통스러울 것이다. 개념을 열심히 공부해도 도대체 문제가 풀리지 않고 심지어 무슨 문제인지조차 알 수 없는 경우도 있다. 더 심각한 일은 틀린 문제의 해설을 보면 전부 이해가 되고, 어떤 개념을 물었는지 알아챌 수 있다는 사실이다. 여기서 대부분 다음과 같은 생각을 하게 된다. ‘개념을 다 알고 있는데 왜 문제가 안 풀리지?, 도대체 무엇이 잘못된 것이지?’ 고민은 꼬리의 꼬리를 문다.

이런 고민 자체는 어제 오늘의 일이 아니지만, 곰곰이 생각해봐야 하는 것이 있다. 애초부터 생각하고 있는 ‘고민 자체’가 문제가 없는지 말이다. 과연 ‘개념’을 ‘정말로’ 다 알고 있는 것일까?

2. 개념을 안다, 모른다?

‘냉정과 열정사이’에서 다음과 같은 내용이 나온다.

누군가를 가장 사랑하는지 알고 싶으면 멀리 여행을 떠나라는 말이 있습니다.
그곳에서 내 옆에 있었으면.. 하고 가슴과 머리가 원하는 사람이
바로 자신이 사랑하는 사람이라고 합니다.

개념을 잘 알고 있는지는 문제를 풀면서 확인할 수 있고 대부분의 경우 당연하다고 생각한다. 그런데 문제가 풀리면 개념을 아는 것이고 안 풀리면 모르는 것일까? 다음 문제를 각각 살펴보자.

① 등차수열 {an}에 대하여, a2=16, a5=10일 때, ak=0을 만족시키는 k의 값을 구하시오.[수능 2013학년도 23번]

② 수열 {an}이 모든 자연수 n에 대하여 2an+1=an+an+2를 만족시킨다. an=-1, a3=2일 때, 수열 {an}의 첫째항부터 제 10항까지의 합은?[수능 2010학년도 26번]

③ 수열 {an}에 대하여 첫째항부터 제 n항까지의 합을 Sn이라 하자.(단, a1<a2<a3<…<an<… 이다.)
a1=1, a2=3(Sn+1-Sn-1)2=4anan+1+4(n=2, 3, 4, …)일 때, a20의 값은?[평가원 2006학년도(6월) 14번]

①번 문항은 등차수열의 일반항을 이용하여 누구든지 쉽게 풀 수 있다. ②번 문항도 문제에서 주어진 조건 2an+1=an+an+2(등차중항)을 통해 수열 {an}이 등차수열임을 알 수 있어서 등차수열의 일반항과 합 공식을 이용하여 어렵지 않게 풀 수 있다. 여기서 문제가 되는 것은 바로 ③번 문항이다. 문제를 풀어보면 알겠지만, 이 문항도 등차수열에 관한 문제이고 등차수열의 일반항을 이용하면 풀 수 있다. 그런데 이 문제를 처음 보고 쉽사리 풀리지 않는 친구들이 꽤 있을 것이다. 이 상황을 두고 과연 등차수열의 일반항 개념을 모른다고 할 수 있을까? 앞의 두 문항을 풀 수 있어서 등차수열 단원의 개념을 안다고 생각했는데, ③번 문항을 풀지 못함으로 인해 등차수열의 일반항 개념을 모른다고 기존의 생각을 뒤엎을 것인가?

3. 개념을 진짜로 알기 - 문제에서 봐야 하는 것

앞서 자신이 사랑하는 사람을 알기 위해서는 멀리 여행을 떠나라고했다. 개념을 제대로 아는지 확인하기 위해서는 문제로 시선이나 태도를 옮겨야 한다.(여기까지는 누구나 알고 있다.) 그런데 앞서 살펴봤지만 단순히 문제를 풀어서 정답 여부를 가리는 것이 개념을 제대로 아는지 확인하는 방법으로는 한계가 있다.(문제를 맞췄다고 개념을 알고 틀렸다고 개념을 모른다고 단정할 수 없음을 ③번 문항을 통해 알 수 있었다.) 그러면 개념을 진짜로 알기 위해선(또는 안다고 확인하기 위해선) 어떻게 해야 할까? 다음은 교과서나 이론서에 쓰여 있는 등차수열 단원의 일반적인 내용이다. 이 내용을 바탕으로 위에서 다뤘던 세 가지 문제에서 무엇을 봐야하는지 살펴보자.

(1) 개념 표현

등차수열, 등차중항, 등차수열의 합 등과 같은 개념 표현을 문제에서 찾아야 한다. 이러한 표현은 문제 풀이에 있어서 정말 중요한 조건이다. 문항 ①을 보면 등차수열 {an}이라는 표현을 사용하고 있음을 볼 수 있다. 이러한 개념 표현을 문제에서 찾는 것도 중요하지만 그 이전에 개념 학습을 할 때, 이런 표현을 명확하게 알고 또 기억해야 하는 것이 일차적으로 중요하다고 할 수 있다.(예전에 수학 실력이 꽤 뛰어난 장수생 한 명이 등차중항을 등차중‘앙’으로 표현했던 적이 있어서 놀랬던 기억이 있다.)

(2) 식 표현

개념학습에서 뿐만 아니라 문제에서 식 표현은 정확하게 인식해야 한다. 문항 ②를 보면 등차중항에 관한 식이 조건으로 주어져 있고 이를 통해 이 수열이 등차수열임을 알 수 있다. 식 표현을 볼 때는 변수의 개수, 차수는 기본적으로 살펴봐야 한다. 그리고 식은 항상 ‘변형’이라는 개념을 갖고 있음을 주의해야 한다.

Sn= 2/dn2+ (2a-d)/2n……위 이론에서 (*)은 대부분의 이론서에 소개되어 있지 않다. 하지만 등차수열의 합 공식을 n에 관한 식으로 변형하면 얻을 수 있는 식이다. 중요한 것은 등차수열 단원 문제에서 이러한 형태로 합 조건을 제시하는 문제가 상당히 많다는 사실이다. 가장 까다로운 문항인 ③번은 개념 표현(등차수열)을 숨기고 있고 심지어 문항 ②와 달리 주어진 조건 식 조차도 등차수열임을 알 수 없게 만들어 놓았다.(이 점에서 배점이 높은 문제이고 동시에 오답률이 높을 수 있음을 추측할 수 있다.) 결국 주어진 식 조건을 변형해서 an+1-an=2라는 사실을 찾아내야 문제를 해결할 수 있다. 개념이 문제에서 어떤 형식으로 표현되고 구현되는지 살펴보는 것은 너무나 중요하다. ‘개념 공부를 열심히 했는데 왜 문제가 안 풀리는지 모르겠어요.’라는 것은 문제에서 개념을 볼 줄 모르기 때문이다. 출제자는 ‘친절하게’ 개념을 표현해주기도 하지만, ‘불친절하게’ 개념을 숨기기도 한다. 후자의 경우 숨겨진 개념을 찾는 것이 바로 출제의도라고 할 수 있다.


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