[공신 릴레이 칼럼] ②이성은 공신-Part 2
[공신 릴레이 칼럼] ②이성은 공신-Part 2
  • 대학저널
  • 승인 2012.10.31 14:51
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공신닷컴 이성은

▲프로필
▶대원외고 졸업
▶서울대학교 전자공학부 박사과정
▶공신닷컴 공신연구소 수리영역 전담멘토

수학의 본론-꼼꼼함과 세심함의 중요성: 문제풀이와 연습장
수학 문제풀이 할 때 사용하는 연습장의 모습 = 학생 머릿속 정리 정도의 척도 

많은 학생들이 수학 공부를 하면서 연습장에 풀이를 적는 습관을 가지고 있을 것이다.(아니라면 지금 당장이라도 시작해야 한다) 연습장을 사용하는 많은 학생들이 말 그대로 ‘계산 과정’만 적는 노트 정도로 생각한다. 그래서인지 이러한 경우의 학생들의 연습장을 보면 어느 문제의 풀이를 적어 놓은지도 모를 정도로 숫자들과 수식만 잔뜩 적혀 있다. 상위권 학생들이 연습장을 사용하는 데 있어서 큰 특징은 일단 여학생이나 남학생을 불문하고 깨끗이 사용한다는 점이다. 즉 정돈되게 문항의 번호도 적고 노트의 줄을 따라 풀이를 다시 한 번 확인할 수 있을 정도로 깔끔하게 쓴다. 물론 노트를 어디에 제출하는 것은 아니지만 깔끔하게 연습장을 기재하고 풀이를 하게 되면 식을 옮겨 적거나 계산하는 과정에서도 숫자를 잘못 알아보는 등의 이유로 ‘실수’를 하게 되는 경우를 현저하게 줄일 수 있다. 또한 어떠한 수학 문항에서 오답이 나오면 그 풀이로 돌아가 다시 ‘복기’해 볼 수 있기 때문에 처음부터 문제를 다시 풀게 되어 낭비되는 시간도 줄일 수 있어 일석이조다. 필자가 학생들을 상담하거나 가르칠 때 하는 말이 있다. ‘연습장의 모습이 그 학생의 머릿 속에 해당 문항에 대한 내용들이 얼마나 잘 정리되어 있는지를 보여주는 일종의 척도이다’라고…

연습장 = 서술형 답안 훈련 노트
연습장이기에 문제집에 직접 풀 수 있는 공간이 부족하니 단순 계산 과정을 적는 여백의 용도로만 사용할 수 있다. 그렇지만 한 단계 더 나아가서 자신에게 ‘더’ 도움이 될 만한 노트로 활용할 수는 없을까? 요즘 학교에서 상위권 학생들을 변별하는 기준이 되는 서술형 문제의 풀이 및 답안을 쓰는 훈련을 위해 연습장을 활용한다면 더더욱 좋지 않을까?

연습장을 깔끔히 적으면서 동시에 서술형 풀이를 적듯이 적어보면 그 자체만으로도 서술형 풀이 기재 훈련 그리고 더 나아가 고3 때 만나게 될 수리 논술 답안 작성의 훈련이 된다.

연습장 작성요령
1) 공통사항: 문항의 번호와 페이지를 적어 둔다. 이는 오답이 발생하였을 때 되돌아와 기존의 풀이를 되돌아보기 위함이다.

2) 응용문제(지문이 긴 문제): 먼저 문제를 읽으며 중요한 정보 항목에 밑줄을 친다. 그 다음 그 정보들을 일목요연하게 연습장에 항목별로 정리한다. 그리고 문제에서 주지 않았지만 적용될 수 있는 수학이론들을 이용하여 숨어있는 정보들을 기재해 본다. 예를 들어 x가 길이를 나타내는 미지수면 ‘x>0’라는 식으로 추후 답안 기재 시 참고해야 할 정보들을 적어보며 문제 지문상에 ‘단, a>b’라고 있으면 이도 매우 중요한 답안 선정 기준이므로 꼭 적어두자. 그리고 난 후 식을 세우고 식을 풀이한다. 식을 풀이하고 거기서 답안을 적는 것으로 종료한다면 이는 문제를 눈으로만 보고 있는 하수 다음의 ‘중수’에 해당한다. 고수가 되려면 여기서 잠시 ‘문제에서 요구하는 답안’이 무엇인지 고민해보고 답안을 적는 단계를 반드시 거쳐야 한다. 마지막으로 문제에서 제시한 ‘단위’를 기재하는 것을 잊지 말자.

3) 도형, 그래프 문제: 많은 학생들이 도형이나 그래프 문제가 나오면 문제에서 준 도형이나 그래프에 바로 참고선들을 그려가며 문제풀이를 한다. 하지만 실수를 좀 더 줄이고 수학 풀이의 정교함을 강화하려면 다음의 풀이법을 체득하길 권한다. 먼저 도형이나 그래프를 연습장에 적당한 크기로 다시 그려본다. 베껴 그리는 데 그치지 말고 문항에서 주어진 도형이나 그래프의 특징을 나름 살펴보고 이해해가면서 그리는 것이다. 먼저 문제 그림에서 주어진 정보들을 기입하면서 주어진 정보들을 확인해본다. 그 이후 그림이 아닌 문제 지문에서만 주어진 정보들을 기입함으로써 주어진 정보들을 먼저 확실하게 파악한다. 그 이후 2)번의 응용문제와 같이 알고 있는 함수와 그래프 단원에서 배운 수학공식이론이나 도형이론에서 배웠던 법칙들로 숨어있는 정보들을 찾아 기재해본다. 그 과정에서 이미 답이 나오는 경우도 많다. 그 이후 해를 도출하는 식이나 공식을 적용하여 문제를 풀이하고 응용문제와 마찬가지로 문제에서 구하고자 하는 답안이 무엇인지 확인한 후 답안을 적는다. 언제나 단위를 기재하는 것도 놓치면 안 된다.

4) 경우를 나누는 문제: 학생들이 문제의 풀이가 너무 궁금하여 문제집의 답안과 풀이를 확인하면, 경우를 i), ii) … 이렇게 나눠보는 경우를 본 적이 분명 있을 것이다. 처음부터 이러한 풀이를 적는 것은 쉽지 않다. 이 또한 꾸준한 문제풀이와 연습장 기입 연습을 통해서 체득되는 것이다. 경우를 왜 나누는지, 나누는 경우 왜 나누는지를 꼼꼼히 따져가면서 연습장에 기재하는 연습을 하자. 경우를 나누는 문제는 경우의 수와 확률 문제에 있어 엄청난 효력을 보이니 유의하자.

수학의 결론-자기 돌아보기: 오답노트
수학의 풀이는 문제풀이와 채점에서 오답을 확인하는 데서 끝나지 않는다

지금까지 여러 학생들을 꾸준히 가르치며 수업하다 보면, 몇몇 학생들이 같은 문제집을 여러 번 풀고 문제집의 권수는 많은 데도 불구하고 성적이 오르지 않는다고 하소연하는 경우를 만나게 된다. 이러한 경우의 학생들은 대부분 문제 풀이를 하고 채점한 뒤 ‘몇 개 틀렸구나’하는 정도나 답안지의 풀이를 한 번 더 보는 정도에서 그치는 경우가 많다. 물론 양치기(문제풀이 양으로 성적상승을 꾀하는 공부법)로 성적 상승을 꾀할 수는 있으나 고득점으로 가기는 어렵다. 틀렸던 문제를 또 틀리는 경우가 허다하기 때문이다. 어느 과목이나 그렇겠지만 수학도 마찬가지로 문제 풀이에서 끝나지 않는다. 틀린 문제들을 추려 오답노트를 만들어 틀린 문제 위주로 다시 자신의 지식 공백을 메우는 작업이 필요하다.

오답노트의 활용법-1차 오답노트, 2차 오답노트…
사실 지금부터 이야기하려는 오답노트 만들기 법은 새로운 것이 아니다. 그러나 마음먹기는 쉬워도 좀처럼 실행에 옮기기가 어렵기 때문에 강조하는 차원에서라도 다시 한 번 설명해보고자 한다.

1차 오답노트는 처음 문제집 풀이에서 틀렸던 문제와 몰라서 찍었던 문제들 그리고 맞는 풀이였는지 확실치 않았던 문제들에 채점과정이나 문제풀이 도중 별표와 같은 표식을 남겨놓고, 오답 재풀이와 풀이 확인 등의 복습 과정을 한 번 거친 후 해당 문제를 오려 빈 노트에 붙이고 문제에 적혀 있는 필기 내용이나 풀이 등을 지우개로 지운다.(이 때 잉여인력이라 할 수 있는 여가시간을 보내고 있는 다른 가족에게 부탁하길 권한다. 학생은 시간이 금이니! 그리고 되도록이면 풀이는 펜으로 풀지 말고 연필로 풀길 권한다. 풀이가 그래도 보인다면 복사해서 오려 붙이는 것도 좋다.) 어느 문제집 몇 페이지, 몇 번 문항인지 적어놓자.(채점을 위해서) 다음 문제집으로 넘어가기 전이나 시험기간이 오면 오답 노트를 새로운 문제집을 풀듯이 풀어보자. 그리고 채점을 하고 복습하는 것도 동일하게 한다. 그럼 오답의 수가 기존보다 많이 줄어든 것을 알 수 있다. 여기서 또 나온 오답이나 모르는 문제들을 또 추린 것이 2차 오답노트다.

이렇게 오답노트가 차수를 거듭할수록 문제의 수는 줄어들게 된다. 꾸준히 이렇게 해 왔다면 시험장에 가는 날에는 매우 얇은 최종 오답노트만을 들고 시험장에 들어가 시험 전에 한 번 보면 마음의 여유를 가질 수 있을 것이다. 오답노트가 얇아져 갈수록 학생은 위안을 얻게 될 것이고 보람도 느끼게 되며 공부에 재미를 붙이게 될 것이라 필자는 자신한다.

글을 마치며… 후배들에게 하는 당부의 말
필자는 이 글을 쓰면서 처음 부분에서 언급했던 개인의 특별한 공부법에 관한 서술은 최대한 자제하고 모두가 시도했을 때 도움될 내용들만을 서술하고자 하였다. 수학의 공부는 정의에 대한 기억과 공식의 유도과정에 관한 철저한 이해 그리고 연습장 사용법과 오답노트를 통한 철저한 복습이면 상위권 진입은 어렵지 않다. 다만 학교 수업이나 학원 강의와 마찬가지로 이 글을 ‘읽는 것’만으로는 절대 수학을 잘 할 수는 없다. 제일 중요한 것은 ‘실천’이며 ‘꾸준한 훈련’이다. 이것은 ‘진리’다. 여러 분이 어떻게 공부를 하는지도 중요하지만 여기에 기본으로 뒷받침되어야 하는 것이 ‘집중하는 시간의 정도’라는 점을 잊지 말길 바란다. 열심히 공부함으로써 여러분이 원하는 공부를 하기 위한 대학·학과에 진학하고 또 다른 후배들의 멘토·공신이 되어 만나는 그날을 기대하겠다.


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