[공신 릴레이 칼럼]②이성은 공신-Part 1
[공신 릴레이 칼럼]②이성은 공신-Part 1
  • 대학저널
  • 승인 2012.09.26 14:34
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들어가기에 앞서 ‘공부법’을 이야기 함에 있어 주의할 것!

대학 학부시절부터 여러 학생들에게 공부를 가르치거나 공신닷컴에서 여러 학생들의 고민에 대해 상담을 해주면서 늘 조심스러운 때가 ‘공부법’에 관한 질문에 답을 해야 할 때다. 과거 필자의 때도 그렇지만 요즘 학생들은 선생님이나 학원강사가 강의를 하면 ‘아~ 그렇구나’라는 식으로 받아들일 뿐이지, ‘이건 왜 그렇지? 이렇게 하면 이렇게 될 수 있지 않나?’라면서 선생님의 설명에 ‘질문’을 던지는데 익숙하지 않은 ‘수동적’인 공부 방식에 익숙하다. 그러한 학생들이 일명 ‘성공했다’라고 생각하는 선배들에게서 ‘이 과목은 이렇게 공부하는 거야’라고 자신의 ‘공부법’을 듣는다면 대부분 후배들이 ‘무조건적으로 따라야만 하는 진리’처럼 느낀다는 점이 필자를 비롯한 공신닷컴의 많은 공신들이 조심스럽게 ‘공부법’ 이야기를 꺼낼 수밖에 없는 이유인 듯하다. 이 글을 쓰고 있는 시점에서의 필자의 생각도 그렇다. 이 공부방법은 ‘조언(助言)’이지 ‘법(法)’은 아니라는 점을 인지하고 ‘수동적’인 자세에서 벗어나, 이 글 또한 ‘비판적’으로 접근하면서 필자의 글에서 중요한 ‘엑기스’만을 뽑아가서 학생에게 정말로 도움이 되었으면 한다. 그리고 수학이라는 과목이야말로 ‘능동적인 공부’가 매우 필요한 과목이라 할 수 있겠다.

수학의 서론
‘정의의 학문’ 수학: 단원별 개념과 원리의 이해
“정의의 학문인 ‘수학’ 정의에 집중하면 수학이 조금은 쉬워진다”
수학은 일명 ‘정의의 학문’이라고 한다는 말을 많이 들을 것이다. 즉 모든 수학의 문제풀이나 이해는 각 내용에 있어 새로운 개념의 ‘정의’에서 시작된다 해도 과언이 아니다.

예를 들어 ‘함수’란 무엇일까? 답은 ‘관계’다. 일반적으로 2개 이상의 ‘변수’라고 불리는 수들간의 관계를 지칭한다. 조금 말의 표현이 어려운가? 중학교 1학년 이상의 학생이라고 한다면
‘정의역’과 ‘치역’이라는 표현을 들을 것이고, 조금 더 나아가서는 ‘공역’이란 표현을 배운다. 이렇게 이야기 해도 어렵다면 ‘정의역’을 보통 x라 하고 ‘치역’을 y 또는 f(x)라고 놓는다는 것을 생각하면 조금은 감이 올지도 모르겠다. 함수는 ‘정의역(x)’이라고 하는 기준이 되는 변수에 따라 대응되는 ‘치역(y)’들간의 관계를 말하며 보통 이를 ‘f(x) 또는 y=x에 관한 식’과 같이 식으로 표현한다. 필자가 이를 말로만 설명하니 조금 어렵게 느껴질 수도 있겠다. 그런데 함수를 이런 용어로만 배워왔다면 어려울 수도 있지만 사실 함수는 초등학교 때부터 배웠다. 다음 그림을 보자.

초등학교 때 배웠던 기억이 나는가? ‘x라는 수(정의역)’가 들어가면, ‘?’ 영역에는 ‘+ 3’과 같은 관계가 주어지고 ‘y(치역)’라는 결과 값이 나온다. 여기서 ‘?’ 부분이 함수를 의미하며 이것이 함수의 시작이다.(정의역과 치역이라는 표현은 중학교 이후에나 배운다). 이러한 내용이 중학교에 와서는 조금 더 실제 함수의 의미에 가깝게 그림으로 표현된다.

a~d가 속한 ‘X 영역’이 관계(함수)를 정의하게 되는 정의’역’ 부분이며 이에 대응되는 관계(함수)의 ‘결과 값의 영역’인 ‘치역’(‘値, 이르다 치’를 사용하기 때문에 치역이라 쓰는 것이라는 점도 기억하면 치역이 왜 치역이라 불리는 지도 알 수 있다)이 속할 수 있는 영역인 ‘공역’의 집단 Y주머니가 표현된다. X→Y에서의 ‘화살표’가 ‘함수’를 나타낸다.

위의 내용들은 필자가 새롭게 정의하거나 설명을 한 것이 아니다. 교과서에 있는 내용들을 풀이해서 적어놓은 것일 뿐이다. 이와 같이 어떠한 개념을 설명함에 있어서도 교과서에서는 그 개념의 자세한 ‘정의’를 설명하고 있다는 점에서 수학에서 ‘정의’가 얼마나 중요한지는 감을 잡았으리라 기대한다.

‘왜’에 집중하자, “공식을 외우기보다는 유도과정을 기억하라”
이제는 수학의 개념을 공부할 때의 기본 자세에 관해 이야기 해보자. 많은 학생들이 ‘수학의 기본 공식’들부터 달달 외우려고 한다. 일종의 ‘선행학습’의 폐해라고도 할 수 있겠으나 이는 선행학습 자체의 폐해라기보다는 빠르게 나가는 진도에 적응하려다 보니 생긴 문제라고 할 수 있다. 바로 앞에서 이야기 했듯이 수학은 정의의 학문이다. 교과서에서 수학의 개념을 설명할 때에는 정의를 내린 이후 그 개념을 설명하는 ‘공식’과 함께 ‘왜 그렇게 공식이 성립이 되는지 유도하는 과정’이 제시된다. 필자는 교과서에서 설명하는 논리를 충실하게 따라가기를 권장한다. 공식이 하나 나오면 왜 그 공식이 성립되는지 유도 과정을 기억하고 이해가 안 되는 부분이 있으면, 질문해서 설명을 듣고 이해하려는 ‘능동적’ 공부를 하길 바란다. 예를 들어보자.

집합 A={ a, b, c }의 부분집합의 개수는 몇 개일까? 답은 8개다. 물론 공식으로 구한 학생들이 많을 것이라 생각한다. 원소의 개수가 3개이니, 23=8로 부분집합의 개수는 8개다. 그런데 왜 23인가? 바로 답할 수 있는가?

n개의 원소를 가진 집합의 부분집합의 개수가 2n이라는 공식은 경우의 수 문제다. 집합 A의 원소 a~c, 3개의 원소들이 각각 부분집합의 원소로서 ‘포함 or 불포함’ 될 수 있는 경우의
수는 2개다. 따라서 a가 2개, b가 2개, c가 2개씩의 경우의 수를 가질 수 있고 a가 부분집합에 포함·불포함된다고 해 b와 c의 포함·불포함 여부에 영향을 주지 않으므로 ‘곱사건’이 된다. 따라서 2×2×2가 되어 23=8이 되는 것이다.(왜 곱사건이 되는가? 웃옷과 바지가 각각 2벌, 3벌 있다면 입을 수 있는 옷의 조합은 6벌이다. 왜? 웃옷 2벌 중 어떤 것을 입어도 바지 3벌 중 어느 것을 입을 지에는 영향을 주지 못한다. 학생도 무의식 중에 그것을 알고 2×3=6가지 라는 답을 도출한 것이다. ^^, 뭐 윗도리가 태권도복이라 바지를 제한한다. 이러지는 말자).

이처럼 각 단원에서 배우는 공식들에 ‘왜 그렇지?’, ‘왜 그렇게 되지?’라는 질문을 가져보는 것이 바로 깊게 이해하는 지름길이며 ‘비판적 사고’에 기인한 공부방법이라는 점을 다시 한 번 강조한다. 여러분이 ‘수학’을 잘 하고 싶다면 ‘깊이 있게’ 공부하길 권한다.
 

* 다음호에 Part-2가 계속됩니다.


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