'수학의 달인' 이광준, 수학 불능 타파 시리즈
'수학의 달인' 이광준, 수학 불능 타파 시리즈
  • 대학저널
  • 승인 2019.08.28 13:32
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제3탄 : 오답 발생원인 분석과 해결 ②

지난 칼럼에서는 4가지 오답 유형과 3단계 수학학습 과정(개념학습–문제풀이–오답정리) 중 개념학습 과정에서의 오답 발생 유형에 대해 살펴봤다. 우선 4가지 오답 유형은 풀이 자체가 애초에 불가능한 풀이 불가형 오답 유형, 잘못된 개념과 개념 적용 혼동으로 오답이 발생하는 개념 혼동형 오답 유형, 계산 실수로 오답이 발생하는 계산 실수형 오답 유형, 마지막으로 조건처리 미숙으로 인하여 부적한 답을 선택하는 조건처리 미숙형 오답 유형이 있다. 이 4가지 오답유형은 3단계 수학학습 과정 중 문제풀이 과정상 발생하게 되는 오답 유형이다. 그런데 문제풀이 과정상 발생하게 되는 오답 유형의 근본적인 원인은 그 이전 과정인 개념학습 단계에서 이미 발생하게 된다. 이번 시간에는 개념학습 과정에서의 발생하는 오답의 유발 원인과 구체적인 해결책을 지난 칼럼에 이어서 구체적으로 살펴보자.

 

1. 개념과 개념학습의 의미
(1) 개념의 의미

우선 개념의 의미에 대해 살펴보자. 보통 개념이라고 하면 ‘정의’를 비롯해 ‘공식·법칙·성질·정리’를 일컫는다. 개념학습을 할 때 이러한 다섯 가지 개념 유형에 대해 엄격하게 이해하고 구별하는 경우는 드물다. 하지만 명칭이 구별되듯이 그 의미가 저마다 다르고 성격도 다르다. 개념들의 엄격하고 세부적인 구별이 필요하냐에 대해서는 이견이 있을 수 있다. 하지만 기본적으로 ‘정의’와 ‘공식·법칙·성질·정리’의 두 가지에 구별은 필요하다는 것이 필자의 생각이다.
‘정의의 정의’는 어떤 대상이나 개념을 보편적으로 논의하기 위해 사용하는 용어나 기호의 의미를 나타내는 문장이나 식을 의미하므로 반드시 정확하게 기억해야 한다. ‘공식 등’은 다양한 연산법칙을 비롯해 어떤 수학 개념의 특수성을 나타내는 것으로, 대부분의 문제 구성이 이러한 ‘공식 등’에 기반하고 있다. 모든 학문에서 개념은 중요하지만 수학은 다른 학문에 비해 더욱 엄밀성을 갖는 특성상 개념이 더더욱 중요하다.

(2) 개념학습의 의미
개념학습은 앞서 말했던 개념들을 학습하는 과정을 의미한다. 개념 자체는 오답과 무관하다. 문제는 개념을 ‘학습’하는 과정에서 오답이 발생하는 원인이 등장하게 되는 것이다. 결국 학습이라는 것은 학습자가 개념을 이해하고 숙지하는 과정인데, 이 과정에서 학습자의 잘못된 태도가 오답 발생의 빌미를 제공하게 된다.

2. 개념학습 태도와 오답발생, 극복
오답을 발생시키는 가장 기본적인 원인은 잘못된 개념학습 태도라고 할 수 있다. 앞서 다뤘던 잘못된 개념학습으로 눈으로 개념학습을 하는 유형, 개념학습을 대충하는 유형, 개념학습 반복 부족 유형, 마지막으로 개념 보충을 소홀히 하는 유형이 있다. 각 유형들의 구체적인 특징과 해당 유형의 해결책에 대해 살펴보자.

(1) 눈으로 개념학습을 하는 유형
지난 칼럼에서 언급됐지만 이 유형의 학습자는 어릴 때 똑똑하다는 소리를 자주 들었거나 게으른 태도를 가지고 있는 특징을 갖고 있다. 눈으로 개념을 학습한다는 것은 그 이외 손과 입과 귀를 활용하지 않음을 의미한다. 순수하게 시각에만 의존한 학습을 하는 유형인데, 시각은 학습의 시작이기는 하지만 전부가 될 수 없다. 시각을 기반으로 해서 손으로 쓰고, 입으로 말하고, 그것을 귀로 들으면서 이해도를 높이고 기억하는 것이 개념학습의 가장 이상적인 형태다. 그런데 눈으로만 그치는 개념학습은 상식적인 사고로도 그 한계가 있음을 충분히 예측할 수 있다.
똑똑함이 효과를 발휘하는 대상과 상황은 한계가 있다. 초·중학교 때의 똑똑함이 고등학교에서 한계가 드러나는 사례는 자주 목격할 수 있다. 게으른 태도는 자신의 삶 자체를 갉아 먹는다. 수학 개념학습에서도 의문의 여지가 없다. 이런 유형의 해결방법은 간단하다. 손으로 개념을 직접 쓰고, 입으로 말하고, 귀로 듣는 과정을 싫증내지 않고 반복하고 지속하는 것이다.

(2) 개념학습을 대충하는 유형
이 유형의 학습자는 학습에 있어서 엄격성과 정확성이 떨어진다. 보통 칠칠치 못한(일처리가 반듯하고 야무지지 못한) 태도의 소유자다. 이런 태도는 기본적으로 문제가 있지만 그렇다고 해서 모든 상황에서 부정적인 결과가 도출되지는 않는다. 적당히 문제가 있어서 큰 불상사 없이 넘어가는 경우도 많다. 하지만 수학 개념학습에 있어서는 치명적이다. 개념을 온전하게 이해하고 기억하지 않아서 문제를 풀 수 없는 일을 허다하게 경험하게 된다.
엄격성과 정확성을 높이는 개념학습 태도가 필요한데, 이를 위해서는 개념학습을 할 때 부단히 집중할 필요가 있다. 그리고 오답 과정의 상황이지만 문제가 틀렸을 때 관련 개념들을 또박또박 다시 써보고, 문제에서 어떻게 개념이 구현됐는지 눈으로 직접 확인하는 과정이 필요하다. 이 과정을 겪게 되면 개념을 소홀히 대충해서는 안 된다는 사실을 인식하게 된다.

(3) 개념학습 반복 부족 유형
학습에 있어 반복은 매우 중요한 방법이다. 그런데 수학의 경우 문제가 풀리기 시작하면 ‘개념은 문제없다’라는 생각을 갖고 더 이상 개념학습을 반복하지 않게 된다. 그런데 시간이 지나면 잊어버리는 개념이 생기고 혼동되는 개념이 생기기 마련이다. 그런 상황을 예측하고 지속적으로 개념을 반복 학습해야 하는데, 소홀히 하다보면 당연히 문제를 풀 수 없는 상황에 맞닥뜨리게 된다.
해결은 반복이다. 단순한 반복이 아니라 한 단원이 끝나면 개념을 다시 써보기, 문제 풀이하다 잊어버린 개념이 나오면 해당 단원을 반드시 펼쳐서 다시 정리하고 관련 문제들 풀어 보기, 수학(상)과 같이 책 한 권이 끝나면 전체 개념의 목차를 써 보기 등 여러 상황과 그에 따른 형태로 반복하면 된다.

(4) 개념 보충을 소홀히 하는 유형
개념을 잊어 버렸거나 불완전하게 기억하고 있음을 알았음에도 불구하고 보완을 하지 않는 유형이다. 문제를 풀다가 어떤 개념을 떠올리지 못하거나 애매하게 기억하고 있는 탓에 못 푸는 경우가 있다. 이럴 경우엔 잊었거나 불완전한 개념 때문에 오답이 발생했음을 학습자가 알아차리게 된다. 문제는 이후의 행동에 있다. 그러면 해당 개념을 다시 한 번 확인하고 이해해서 관련 문제를 추가적으로 풀어 보면서 개념을 보충해야 한다. 그런데 대부분의 경우에는 그냥 해설에 있는 내용만 확인하고 넘겨 버린다. 결국 그 개념은 또 불완전한 상태로 남게 되고, 차후 관련 개념을 묻는 문제를 접하면 틀리게 되는 악순환이 반복된다. 이러한 상황을 해결하기 위해서는 학습자의 적극적인 태도가 중요하다. 귀찮더라도 관련 개념이 나와 있는 이론서를 다시 보거나 인터넷 강의를 활용해 해당 개념들을 즉시 보완하는 태도가 필요하다. 게으름은 결국 문제 해결은커녕 시간 낭비와 부정적인 결과만 가져 올 뿐이다.

개념은 그 자체가 문제가 되기보다는 학습자의 개념학습 태도가 문제가 된다. 개념을 대하는 학습자의 잘못된 태도로 인해 불완전한 개념학습이 이뤄지고, 이는 문제풀이가 불가능한 상황을 야기시킨다.
개념의 반복학습은 아무리 강조해도 지나치지 않다. 학습자가 지루해하지 않는 다양한 방법의 지속적인 개념 반복학습이 필요하다. 모든 수학 문제들은 개념을 정확히 이해하고 인지한 상태에서 문제에 적용할 수 있는지를 묻는 과정일 뿐이다. 수학 문제는 그 자체가 목적이 아니라 개념에 대한 이해와 적용을 테스트하는 수단임을 잊지 말자.


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