'수학의 달인' 이광준, 수학 불능 타파 시리즈
'수학의 달인' 이광준, 수학 불능 타파 시리즈
  • 대학저널
  • 승인 2019.05.24 18:15
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제1탄: 오답의 유형과 그 분석

오답(誤答). 오답은 그릇된(잘못된) 답을 말한다. 국어나 영어와 달리 수학에서 오답은 심리적으로 적잖은 좌절감을 준다. 학습했던 개념들을 바탕으로 식과 그래프를 세우고 그려가면서 답을 찾았는데 틀렸기 때문이다. 자신이 들인 품이 물거품이 되는 것이다. 이 상황에서는 어느 누구도 온전할 수가 없다. 그래서 이번 칼럼부터는 수학에서 발생하는 오답에 대한 상황을 철저하게 분석하고 해결방안을 탐구하는 기회를 갖도록 하자. 우선 오답의 유형에 대한 정리가 필요하다. 보통은 문제를 풀어서 나온 답이 정답과 일치하지 않을 때를 생각하게 된다. 이는 일반적인 오답에 대한 정의다. 하지만 더 구체적으로 오답 유형을 살펴봐야 그 발생 원인을 보다 더 구체적으로 알 수 있고 그에 대한 정확한 해결책을 찾을 수 있다.

 

1. 풀이 불가형 오답
(1) 구체적인 형태

첫 번째 유형은 풀이가 애초에 불가능한 형태로 문제 자체를 풀지 못하는 것이다. 물론 개념 학습 자체를 아예 하지 않은 상태인 경우는 제외다. 개념 학습을 했음에도 불구하고 문제 풀이 자체가 안 되는 상황을 의미한다. 이런 상황이 발생하는 구체적인 경우는 다양하다. 우선은 개념 학습을 했지만 제대로 하지 않아서 기억이 나지 않는 경우다. 이런 경우는 개념 학습 자체를 아예 하지 않은 경우와 실질적으로 차이가 없다. 가혹하게 말하면 시간낭비를 했을 뿐이다.
그런데 이런 학습자들이 실제로 많은 비중을 차지하고 있다. 이런 상황이 발생하는 이유는 수학을 비롯한 학습 자체에 흥미가 없는 학습자를 들 수 있다. 학습 자체에 흥미가 없기 때문에 개념 학습을 해도 집중하지 않고 그냥 멍하게 시간만 보내고 있는 것이다. 특히 어렵게 생각하는 수학은 더더욱 집중을 하지 않게 된다.
그 다음 이유로는 수학 학습에 유난히 두려움과 좌절감을 갖고 있어 학습에 있어 자존감이 낮아진 점을 들 수 있다. 이런 경우는 처음부터 주눅이 든 상태에서 개념 학습을 하다 보니 당연히 이해도가 떨어질 수밖에 없다. 그리고 개념 학습 상태가 충분한데도
‘내가 이 문제를 풀 수 있겠어?’라는 식의 자신에 대한 의구심으로 문제 풀이 자체를 진행시키지 못하기도 한다.

(2) 개선 방향
오답의 유형에 따른 해결책은 다음 칼럼에서 구체적으로 살펴보고 여기서는 간단하게 그 개선점을 밝히는 선에서 진행하도록 하자.
앞서 언급한 유형의 학습자들을 우리나라 환경에서는 매우 부정적으로 바라본다. 그런데 이는 정말 잘못된 태도이며 문화라고 할 수 있다. 이런 유형의 학습자들은 흥미를 유발하고 두려움과 좌절감을 없애 주는 방식의 수학 수업 진행이 필요하다. 이런 개선을 언급하면 시스템을 비롯한 인프라 부족을 변명으로 드는데 대부분은 실현 가능하다. 관심 부족과 동시에 의지 부족이다. 수업을 잘 따라오고 결과가 잘 나오는 학생들에게 집중하자는 식의 사고가 팽배해져 있기 때문이다. 힘들겠지만 학생들 본인 스스로가 흥미를 가질 수 있는 학습 환경을 찾고 두려움과 좌절감을 줄일 수 있는 본인만의 학습 방법을 찾도록 노력하자. 다음 칼럼에서 그 구체적인 방법을 제시하도록 할 예정이다.

 

2. 개념 혼동형 오답
(1) 구체적인 형태

두 번째 유형은 잘못된 개념(오개념)과 개념 적용 혼동으로 오답을 발생시킨 경우다. 잘못된 개념의 경우는 학습 과정에서 학습자 자신의 오해와 이해 부족으로 발생하게 된다. 개념 적용 혼동은 해당 문제에 적합지 않은 개념으로 문제 풀이를 해서 오답을 발생시킨 것이다. 대부분의 경우 유사 개념들 사이의 충돌로 발생하게 된다.
개념 혼동의 구체적인 사례로 무한등비수열의 수렴범위(-1r    1)와 무한등비급수의 수렴범위(-1r1)를 들 수 있다. 무한등비수열과 무한등비급수로 용어의 표현 자체가 유사하고 수렴범위도 ‘1의 포함 여부’에서만 차이가 나는 모습을 볼 수 있다. 혼동이 발생할 상황을 충분히 갖고 있다. 어떤 학습자는 저 부분이 왜 혼동되느냐고 생각할 수도 있는데, 개인차가 있고 상황 차이가 있기 때문에 충분히 이해할 수 있는 상황이다.

(2) 개선 방향
개념 혼동으로 인해 오답을 발생시키는 유형 역시 개념 학습 태도의 문제가 그 원인이다. 개념을 학습할 때 정의와 사용되는 상황에 대한 엄격한 이해와 암기가 필요하다는 사실을 인식해야 한다. 단순히 문제를 풀고 답을 찾는 성취감에 기울기보다는 지속적으로 개념의 반복 학습과 이해에 집중할 필요가 있다. 그리고 최대한 개념은 교과서에 표현된 토씨 하나 틀리지 않게 정확하게 암기하는 태도를 길러야 한다. 유사한 표현으로 대체하거나 학습자 자신의 생각으로 표현해서는 안 된다.
수학 개념은 수학자들이 구성해 놓은 약속이기 때문에 그 내용과 형식은 학습자 자신이 함부로 수정할 수 있는 대상이 아니다. 영어 어휘는 교재에 있는 내용 그대로 암기하기 위해 부단히 애를 쓰는데 수학 개념은 왜 그런 태도를 보이지 않는지 의문이다.

 

3. 계산 실수형 오답
(1) 구체적인 형태

세 번째 유형은 계산 실수로 인해 오답을 도출한 형태다. ‘계산실수’는 그 형태가 정말로 다양하다. 수학 학습을 하는 사람이면 누구나 한 번은 겪게 되는 과정이다. 지저분한 풀이 태도로 스스로도 식별이 안 되게 숫자와 문자를 쓰고, 여기 저기 중구난방으로 풀이하는 친구들을 심심찮게 볼 수 있다. 숫자를 날려서 쓰다 보니 ‘2’와 ‘3’을 구분되지 않게 써서 숫자를 착각해서 계산하다가 실수했던 경험이 있는 학습자들이 있을 것이다.
그런데 이런 풀이 태도는 쉽게 고쳐지지 않는다. 한글을 쓸 때 악필이 고쳐지지 않는 경우와 흡사하다고 할 수 있다. 가끔 수학을 잘하는 상위권에서도 계산 실수가 종종 발생한다. 이런 경우는 문제 풀이를 위한 개념과 사고에만 몰두한 나머지 계산 과정에 대해서는 긴장감이 떨어져 집중력을 잃기 때문인 경우가 많다. 반복적으로 발생하는 경우가 많고 본인이 인지하고 있음에도 불구하고 개선되기 쉽지 않다.

(2) 개선 방향
‘계산’이라는 과정에 대한 바른 자세가 필요하다. 단순한 과정이라고 생각하며 가볍게 여겨서는 안 된다. 힘들게 학습한 개념과 사고를 적용시켜서 문제를 푸는데 계산 오류로 인해 그 과정이 물거품이 되게 만드는 것만큼 어리석은 일도 없다. 반드시 최종 답을 도출할 때까지 관련된 계산 과정은 또박또박 손으로 적고, 눈으로 확인하는 과정을 소홀히 해서는 안 된다. 시간을 아끼기 위해 어설프게 암산하다가 시간을 아끼기는커녕 점수를 잃는 우를 범해서는 안 된다.

 

4. 조건처리 미숙형 오답
(1) 구체적인 유형

네 번째 유형은 조건처리 미숙으로 인한 부적합한 답 선택 유형이다. 조건처리 미숙의 구체적인 상황을 살펴보면 우선 문제나 개념 상 전제된 조건을 누락해서 구한 답 중에 조건에 부합하는 답만 선택해야 하는데 그 부분을 간과해서 오답이 발생하는 것이다.
그 다음으로는 문제 자체에서 생성해야 하는 조건을 잘못 생성해(가령, 미지수의 범위) 오답이 발생하는 경우다. 애초부터 조건 자체가 잘못됐기 때문에 그에 부합하는 답을 선택하면 필연적으로 틀릴 수밖에 없다.

(2) 개선 방향
개념 상 조건이 포함돼 있는 경우(가령, 로그의 정의에서 밑 조건과 진수조건)는 개념 학습을 할 때 주의 깊게 정리하고 기억해야 한다. 문제 자체에서 조건을 생성해야 하는 경우는 해당 문제가 나왔을 경우 따로 정리를 하는 과정이 필요하다. 그렇게 문제 사례가 모이면 경향성을 분석할 수 있게 된다. 어느 단원과 어느 유형에서 조건을 생성하는 경우가 빈출한다는 등의 구체적인 정리와 분석이 가능해진다.

다음 칼럼에서는 오답 상황이 발생하는 원인을 바탕으로 그 해결 전략을 구체적으로 살펴보도록 하자.


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